#noindex AKA '''선형공간, linear space''' ''따라서 '선형 벡터 공간' linear vector space 도 동의어? CHK'' ## linear_space 벡터공간에는 [[벡터,vector]]만 있다. 다른 것은 없다. (참고로 [[스칼라,scalar]]는 (''스칼라 공간이 아니라?'') 스칼라체 scalar_field에 있다. - curr [[체,field]] ''[[Date(2023-09-12T22:32:33)]]... WtEn:scalar_field 이건 영어로 [[스칼라장,scalar_field]]과 구분이 안 되나? / + 다른 표현은 없는지?'' Ans: 한국어: Ndict:스칼라체 를 거쳐 [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125300&cid=60207&categoryId=60207 수학백과 벡터공간]] 페이지에서 스칼라체 검색하면 상수체 라고도 한다고. Ggl:스칼라체 Bing:스칼라체 Ggl:상수체 Bing:상수체 영어: WtEn:field_of_scalars 임. WpEn:field_of_scalars 은 redirected. 스칼라장을 설명하는 WpEn:Scalar_field 은 맨 위에 disambiguation으로 처리. ) ## 국민대 이옥연 http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=694450 1강 34m F가 [[체,field]]일 때, F^^n^^의 부분집합 V가 다음 조건을 만족하면, V를 F위의 '''벡터공간'''이라 함. 임의의 [[스칼라,scalar]] ''a, b''와 ''V''의 원소 ''u, v''에 대해 항상 ''au'' + ''bv'' ∈ ''F'' 성질 * 항상 덧셈에 대해 닫혀 있음 * 덧셈의 항등원 0을 원소로 가짐 ([[항등원,identity_element]]) // [[additive_identity]] { pagename tbd. 참고, kms additive : https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=additive .... WpEn:Additive_identity ... Google:additive_identity } // src?? ''이 항등원 0이 스칼라 [[영,zero]]인가 [[영벡터,zero_vector]]인가 확실히'' * 덧셈의 역원 존재 ([[덧셈,addition]]의 [[역원,inverse_element]]) // [[additive_inverse]] { WpEn:Additive_inverse ... Google:additive_identity } 예 ''<- 아래 section으로'' * 수학에서 보통 써오던 [[집합,set]]은 대부분 '''벡터공간'''이라고 하네. (ex. $\mathbb{R}, \mathbb{C},$ 연속함수의 집합, 미분가능한 함수들의 집합 등) * n차원 좌표공간 F^^n^^ * ℝ^^3^^ $\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}$ : column vector with 3 components * [[평면,plane]] ## src: 항공대 최도훈 http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1285101 1강 24분 40초 * $\mathbb{R}^n=\left\lbrace (x_1,\cdots,x_n)\middle| x_i\in\mathbb{R}\right\rbrace$ * $P$ = set of all polynomials * $P_n$ = set of all polynomials of degree $\le n$ * $M_{m,n}$ = set of all m×n matrices * $C(-\infty,\infty)$ = set of all continuous functions on $\mathbb{R}$ * $C[a,b]$ = set of all continuous functions on $[a,b]$ ## src: 2강 38분 <> = 공리 10가지 정리 필요 = [[공리,axiom]] ... Google:벡터공간+공리 = 분류 필요 = == 차원에 따른 벡터공간의 분류 필요 == (벡터공간의 차원은 아래 section 있음) ex 유한차원벡터공간 무한차원벡터공간 = tmp 영공간과 열공간 = Ax=0의 해들이 이루는 벡터공간은 [[영공간,null_space]] Ax=b의 해들이 이루는 벡터공간은 [[열공간,column_space]] 이 둘은 homogeneous/inhomogeneous와 관련되었다고. Thm. [[해,solution]]가 존재하는 [[연립일차방정식,system_of_linear_equations]] Ax=b의 [[해집합,solution_set]]을 S, 대응되는 연립일차방정식 Ax=0의 해집합을 S,,H,,라 표기. (H는 homogeneous인듯) Ax=b의 임의의 해를 s라 하면 다음 식이 성립. S=s+S,,H,,={s+h|h∈S,,H,,} // 즉 s∈S // s+S,,H,, 는 {s}∪S,,H,,를 뜻하나??? 뜻: 우변이 0이 아닌 inhomogeneous방정식의 일반해는, 한 해만 선택한 다음 우변이 0인 homogeneous방정식의 해집합에 더하기만 하면 만들 수 있다. pf. 연립방정식 Ax=b의 임의의 해를 s라 하자. 그 외의 또 다른 어떤 해를 t라 하면, t∈S이고 Ax=b At=b A(t-s)=b-b=0 이므로 t-s∈S,,H,,이다. 여기서 t-s=h라 하면, h는 연립방정식 Ax=0의 해이므로 h∈S,,H,,이다. 그러면 t=s+h∈{s}+S,,H,,라 할 수 있고, t∈S이므로 S⊆{s}+S,,H,, ......(1) 가 성립. 역으로, t∈{s}+S,,H,,라 가정한다. 그러면 어떤 h∈S,,H,,에 대해 t=s+h라 할 수 있다. 이 때 At=A(s+h)=As+Ah=b+0=b 이므로 t는 연립방정식 Ax=b의 해가 되어 t∈S이고 S는 가정 상 {s}+S,,H,,보다 큰 집합이므로 {s}+S,,H,,⊆S ......(2) 이다. 따라서 (1), (2)에 대해 S={s}+S,,H,,가 성립한다. from https://blog.naver.com/cindyvelyn/222145038350 chk = TMP 벡터공간임을 인정받으려면 반드시 따라야 할 규칙 CHK = (벡터공간 내 임의의 벡터 v,w를 가정. 임의의 상수 c,d를 가정.) 1. 더한 결과 v+w는 같은 벡터 공간에 존재. 2. 상수곱의 결과 cv는 같은 벡터 공간에 존재. 3. 모든 경우의 cv+dw 조합([[선형결합,linear_combination]]) 결과가 같은 벡터 공간에 존재. from https://twlab.tistory.com/17 = from Young Gil Kim, Friedberg 4판 교재 = == 정의 == //tmp from https://youtu.be/sDZB7ozFytk?t=1422 사전지식: [[체,field]] 체 F도 집합이고, 벡터공간 V도 [[집합,set]]이다. Def. '''Vector space''' $V$ over $F$ = a set of vectors with two operations (+,·) 여기서 `+`는 벡터들 간의 덧셈이고, `·`는 벡터에 스칼라를 곱하는 것(이 곱하기는 [[이항연산,binary_operation]]이라고 하지 않는다). 아무튼 V는 벡터들의 집합, F는 스칼라들의 집합. 그래서 다음 조건을 만족해야 한다. * 닫힘 closed * x+y=y+x * (x+y)+z=x+(y+z) * ∃0∈V such that x+0=x .... 0∈V .... 수 [[영,zero]] 아니고 벡터인 [[영벡터,zero_vector]] * ∀x∈V such that 1·x=x .... 1∈F .... 수 [[하나,one]] 맞음 (스칼라) * (a·b)·x = a·(b·x) .... 여기서 첫번째 ·는 scalar와 scalar의 곱셈이고, 두번째 ·는 scalar와 vector의 곱셈. (QQQ scalar_multiple ?) * a(x+y)=ax+ay * (a+b)x=ax+bx == 벡터공간의 예 .... 이하 CLEANUP == ex1. $F^n=\lbrace(a_1,a_2,\cdots,a_n)|a_i\in F\rbrace$ $F^n$ over $F$ is a '''vector space''' ''즉 [[체,field]]에서 n개를 뽑은 n-[[튜플,tuple]], 이것은 '''벡터공간'''이 된다.'' $u=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in F^n$ $v=(b_1,b_2,\cdots,b_n)\in F^n$ $u+v=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)\in F^n$ $c\cdot v=(c\cdot b_1,c\cdot b_2,\cdots,c\cdot b_n)\in F^n$ // ''그래서 F를 실수로 생각하면'' ex2. $\mathbb{R}^3$ over $\mathbb{R}$ // ''복소수 4-tuple로 생각하면'' ex3. $\mathbb{C}^4$ over $\mathbb{C}$ ex4. 행렬도 vector space가 될 수 있음. 조건만 만족하면.. m by n $(m\times n)$ 행렬 $M_{m\times n}(F)=\left\lbrace [a_{i,j}]_{m\times n} \middle| a_{i,j}\in F \right\rbrace$ $\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\end{bmatrix}\in M_{2\times 3}(F)$ Zero in $M_{2\times 3}(F)=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$ ex5. A set of functions from $[0,1]$ to $\mathbb{R}$ 이 vector space의 zero_vector에 해당하는 것은 [[영함수,zero_function]]. 어떤 vector의(ie 함수의) additive_inverse는 x축 대칭인 함수. ex6. 유한차수다항식들의 집합 $V=P(\mathbb{R})$ // ''이건 P over R이며, P는 polynomial, R은 계수가 실수에서 왔다는 뜻'' $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0\in V$ $g(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0\in V$ 이건 다음과 같은 성질들을 만족하므로 vector space임. $f(x)+g(x)\in V$ $cf(x)\in V$ Zero of V=0 Inverse of $x^2+1=-x^2-1$ ex7. (벡터공간 아님) $S=\left\{ (a_1,a_2) \middle| a_1,a_2\in\mathbb{R} \right\}$ // ''즉 2차원 평면 위의 한 점으로 생각'' $(a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(a_1+b_1,a_2-b_2)$ $c(a_1,a_2)=(ca_1,ca_2)$ 이렇게 정의한 $S$ 는 벡터공간인가? commutative, associative 조건 때문에 아니다 일단 연산에 뺄셈이 있어서 vector addition에 대한 교환법칙이 성립 X ex8. (벡터공간 아님) // ''이것도 2차원 평면'' $S=\left\lbrace (a_1,a_2)\middle| a_1,a_2\in\mathbb{R}\right\rbrace$ $(a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(a_1+b_1,0)$ $c(a_1,a_2)=(ca_1,0)$ 이렇게 정의한 $S$ 는 벡터공간인가? Sol. $\forall x\in V$ s.t. 1·x=x 이어야 하는데, 즉 1을 곱하면 자기자신이어야 하는데, 자기자신이 될 수가 없다. 예를 들어 1·(3,5)=(3,0) 이 되는데 이게 (3,5)가 아니다. $\exists 0\in V$ s.t. x+0=x 이어야 하는데, 즉 0을 더하면 자기자신이어야 하는데, 더하기만 하면 항상 뒤를 0으로 만들어 버린다. == 벡터공간의 정리 == === Thm 1.1 cancellation_law === ∀x,y,z∈V, x+z=y+z ⇒ x=z // ''즉 cancellation을 할 수 있는지에 대한 정리. easy.'' Pf. 공리에 따라 덧셈의 역원이 존재하므로 ∃(-z). 양변에 더하면 (x+z)+(-z)=(y+z)+(-z) 덧셈 결합법칙 x+(z+(-z))=y+(z+(-z)) 덧셈의 역원을 더하면 영벡터가 되므로 x+0=y+0 x=y 결론: vector space에선 [[덧셈,addition]]에 대해서 cancellation을 할 수 있다. ==== Cor 1 identity 0 is unique - 덧셈 항등원 0의 유일성 ==== ''uniqueness 증명은 방법이 하나밖에 없다 - 두 개 있다고 가정하고, 그 둘이 같을 수 밖에 없음을 증명하는 것'' pf. zero vector가 0과 0' 두개라고 가정한다. Suppose we have two zeroes 0 and 0' x+0=x=x+0' x+0=x+0' By cancellation, 0=0' 결론: [[영벡터,zero_vector]]의 [[유일성,uniqueness]]: 영벡터는 벡터공간 안에 여러 개 있을 수가 없고 하나만 존재한다. ==== Cor 2 inverse is unique - 덧셈의 역원의 유일성 ==== Pf. x의 덧셈에 대한 역원이 하나가 아니고 두 개 a, b가 있다고 가정. Suppose we have two inverses of x which are a and b. x+a=0 x+b=0 ''위 Cor 1에서 0은 유일하다고 했으므로'' x+a=x+b By cancellation, a=b === Thm 1.2 === 벡터에 스칼라 0을 곱하면 영벡터가 된다. $\forall x\in V,\;0\cdot x=0$ (주의: 앞의 0은 scalar zero, 뒤의 0은 zero vector... 이하 0과 \vec{0} 을 일부러 구분 표기하지 않았음 - 내가 틀릴수 있으므로) pf. $0\cdot x$ // ''0=0+0이라는 일종의 technique?? 을 쓴다...'' $=(0+0)\cdot x$ // ''여기 분배법칙 쓰면'' $=0 \cdot x + 0 \cdot x$ By cancellation, $0\cdot x=0$ ---- 영벡터에 어떤 스칼라를 곱해도 영벡터이다. $\forall a\in F,\; a\cdot 0=0$ pf. $a\cdot 0$ $=a\cdot(0+0)$ $=a\cdot 0 + a \cdot 0$ By cancellation, $a\cdot 0=0$ ---- ∀x∈V, ∀a∈F // x는 벡터고 a는 스칼라이다. (−a)·x = −(a·x) = a·(−x) pf. 앞쪽등호 a·x+(−a)·x = (a+(−a))·x = 0·x = 0 ∴ (−a)·x is the inverse of a·x 뒷쪽등호 a·x + a·(−x) = a·(x+(−x)) = a·0 = 0 ∴ a·(−x) is the inverse of a·x // 이 다음 1.3 Subspace는 [[RR:OnlineLectures#s-4]]으로 = 정의; tmp CHK = { 일단 잘 안 쓰이는 용어 잠시 찾아보니 '가법'은 다음을 얘기하는 듯. 단순 [[덧셈,addition]] 말고도. CHK. from [[http://www.navisphere.net/2143/%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98-4/ 선형대수 George Nakos 벡터공간 소개부분 요약]] { * 모든 $ u, v \in V $ 에 대하여 $ u + v \in V $ 이다. * 모든 $ u, v \in V $ 에 대하여 $ u + v = v + u $ 이다. * 모든 $ u, v, w \in V $ 에 대하여 $ (u + v) + w = u + (v + w) $ 이다. * V의 영이라고 부르는 일의적인 원소 $ 0 \in V $ 가 존재하여, 모든 $ u \in V $ 에 대하여 $ u + 0 = 0 + u = u $ 를 만족한다. * 각 $ u \in V $ 에 대하여 u의 음 또는 u의 반대라고 하는 일의적인 원소 $ -u \in V $ 가 존재하여 $ u + (-u) = (-u) + u = 0 $ 을 만족한다. 요약하자면 각각 * 덧셈에 닫혀있음 * 덧셈 교환법칙 성립 * 덧셈 결합법칙 성립 * 덧셈의 항등원 0 존재 * 덧셈의 역원 존재 이라는 군을 접해봤다면 매우 친숙할 덧셈의 성질이다. 이것들이 가법? 이것들이 성립하면 가법이 성립? 이것들이 가법의 조건??? 아무튼. 정식 용어 아님. 이 단어는 (현재는) 찾아봤자다. addition밖에 안나옴. 찾다 보니 가법성(additivity)이란 게 있는데 $f(a+b)=f(a)+f(b)$ 라는 뜻이라고. [[https://freshrimpsushi.tistory.com/1096 src]] [[Date(2021-05-20T23:04:13)]] additivity에 대한 설명 도형 D가 두 부분으로 나뉘어져서 D = D,,1,, ∪ D,,2,,라고 쓸 수 있고 이 두 부분은 교차하는 부분이 없어서 D,,1,, ∩ D,,2,, = ∅일 때, 넓이 A는 다음 성질을 만족시킨다: $A(D)=A(D_1)+A(D_2)$ 이것을 넓이 함수의 additivity라고 한다. from AnamLectureNotesVol1_20200210.pdf } ---- 어떤 집합 V에 대해, * 가법 * 스칼라곱 (scalar product([[스칼라곱,scalar_product,dot_product|이거]])가 아니라 스칼라를 곱하는 것을 뜻하는지 CHK. 관련pages: [[곱셈,multiplication]] and [[곱,product]]) 이 정의 되어 있으면 닫혀 있다. ---- '''벡터공간'''은 아래 세 성질을 만족하는 공간. * 가법에 대해 가환군이 된다. (가환군 = commutative group = 아벨군 = abelian group, curr see [[군,group]]) * 스칼라곱에 대해 결합법칙이 성립한다. ([[결합법칙,associativity]]) * 가법과 스칼라 곱을 함께 쓸 때 분배법칙이 성립한다. ([[분배법칙,distributivity]]) 즉, 어떤 집합 V에 대해, 가법과 스칼라곱이 정의되어 있고, 닫혀있으면서, 위 성질들을 만족하면, 그 집합은 벡터 공간을 이룬다고 함. (sglee) ---- (참고) 가법에 대한 [[가환군,commutative_group]]의 예로는 Z, Q, R, C가 있다 (자연수는 0과 음수가 없어서, 가법에 대해 군이 아님) 스칼라(여기서 스칼라는 [[체,field]]를 말함)에 대해 '''벡터공간'''을 분류 가능. 실수체를 쓰는 실벡터공간 real vector space real_vector_space https://mathworld.wolfram.com/RealVectorSpace.html 복소수체를 쓰는 복소벡터공간 complex vector space_complex_vector space https://mathworld.wolfram.com/ComplexVectorSpace.html 이상 참고: https://m.blog.naver.com/sglee84/110045627887 (선형대수-2) https://beckho.tistory.com/17 (벡터공간) } = 관련 = [[기저,basis]] = Definition from Lay 4.1 = A '''vector space''' is a nonempty set $V$ of objects, called ''vectors'', on which are defined two operations, called ''addition'' and ''multiplication by scalars'', subject to the ten axioms listed below. The axioms must hold for all vectors $\vec{u},\vec{v},\textrm{ and }\vec{w}$ in $V$ and for all scalars $c\textrm{ and }d.$ 1. $\vec{u}+\vec{v}\in V$ (sum의 존재) 1. $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$ 1. $(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$ 1. $\exists\vec{0}\in V$ such that $\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}$ 1. For each $\vec{u}\in V,\;\exists-\vec{u}\in V$ such that $\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}$ 1. $\exists c\vec{u}\in V$ (scalar multiple의 존재) 1. $c(\vec{u}+\vec{v})=c\vec{u}+c\vec{v}$ 1. $(c+d)\vec{u}=c\vec{u}+d\vec{u}$ 1. $c(d\vec{u})=(cd)\vec{u}$ 1. $1\vec{u}=\vec{u}$ = 부분공간 subspace = Moved to [[부분공간,subspace]] = 노름공간 normed space = [[노름공간,normed_space]] later [[거리공간,metric_space]]과 상당히 비슷한 듯. 노름공간은 거리공간임. mklink: [[힐베르트_공간,Hilbert_space]] [[내적공간,inner_product_space]] [[노름,norm]] = 위상벡터공간 topological vector space = [[위상벡터공간,topological_vector_space]] - writing = 벡터공간의 차원 = (정의) '''벡터공간'''의 [[기저,basis]]에 있는 벡터의 수를 그 공간의 [[차원,dimension]]이라 한다. 벡터공간의 기저가 유한 개의 벡터를 포함하면 그 벡터공간은 유한차원(finite dimensional), 그렇지 않으면 무한차원(infinite dimensional)이라 한다. 구간 $I$ 위에서 $n$ 번 연속적으로 미분가능한 함수로 된 [[함수공간,function_space]] $C^n(I)$ 는 무한차원벡터공간의 한 예이다. (Zill 6e ko 정의 7.6.5 p443) -> [[유한차원벡터공간,finite-dimensional_vector_space]] [[무한차원벡터공간,infinite-dimensional_vector_space]] { tmp bmks ko https://chocobear.tistory.com/112 -> mentions/mklink: [[사슬,chain]] 극대원리 [[maximal_principle]] 극대선형독립부분집합 maximal_linearly_independent_subset Google:무한차원벡터공간 } ---- ---- Q: [[벡터장,vector_field]]과 차이? Twins: [[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=4125300&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 벡터공간]] [[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=2426093&cid=60208&categoryId=60208 수학의 세계: 벡터공간]] - snu 교양과목 교재에서 짧게 언급한 부분 https://mathworld.wolfram.com/VectorSpace.html (8개의 조건) https://planetmath.org/vectorspace https://everything2.com/title/vector+space https://en.citizendium.org/wiki/Vector_space https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Vector_space ---- Up: [[벡터,vector]] [[공간,space]] [[선형대수,linear_algebra]] [[선형성,linearity]] 대수적 대상 algebraic_object - [[대수학,algebra]] [[대상,object]] Ref: 벡터공간의 기본개념 [[http://matrix.skku.ac.kr/sglee/linear/ocu/20501.html]] 예 몇가지: 항공대 최도훈 강의 [[http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1285101]]