Sub:

기울기,gradient ∇(scalar_field)=(vector_field)
발산,divergence ∇·(vector_field)=(scalar_field)
회전,curl ∇×(vector_field)=(vector_field)
라플라시안,Laplacian (AKA 라플라스_연산자,Laplace_operator) ∇·∇(scalar_field)=(scalar_field)? CHK
선속,flux
델,del,나블라,nabla ∇

선적분,line_integral은 벡터장내 벡터의 적분인가?

1. 벡터함수의 도함수 ¶

벡터함수,vector_function $r$ 의 도함수 $r'$ 은

$\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{r}{}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\vec{r}(t+h)-\vec{r}(t)}{h}$

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2. 정리 ¶

$\vec{u},\ \vec{v}$ 가 미분가능한 벡터함수,vector_function이고, $k$ 는 실수, $f$ 는 실수함수일때 다음이 성립한다.

$\frac{d}{dt}(\vec{u}(t)+\vec{v}(t))=\vec{u}^{\prime}(t)+\vec{v}^{\prime}(t)$
$\frac{d}{dt}(k\vec{u}(t))=k\vec{u}^{\prime}(t)$
$\frac{d}{dt}(f(t)\vec{u}(t))=f^{\prime}(t)\vec{u}(t)+f(t)\vec{u}^{\prime}(t)$
$\frac{d}{dt}(\vec{u}(t)\cdot\vec{v}(t))=\vec{u}^{\prime}(t)\cdot\vec{v}(t)+\vec{u}(t)\cdot\vec{v}^{\prime}(t)$
$\frac{d}{dt}(\vec{u}(t)\times\vec{v}(t))=\vec{u}^{\prime}(t)\times\vec{v}(t)+\vec{u}(t)\times\vec{v}^{\prime}(t)$
$\frac{d}{dt}(\vec{u}(f(t))=f^{\prime}(t)\vec{u}^{\prime}(f(t))$

Repeat:

$\frac{d}{dt}(\vec{u}(t)+\vec{v}(t))=\frac{d}{dt}\vec{u}(t)+\frac{d}{dt}\vec{v}(t)$
$\frac{d}{dt}(c\cdot\vec{u}(t))=c\cdot\frac{d}{dt}\vec{u}(t)$
$\frac{d}{dt}(f(t)\vec{u}(t))=f^{\prime}(t)\vec{u}(t)+f(t)\vec{u}^{\prime}(t)$ (f는 scalar function)
$\frac{d}{dt}(\vec{u}(t)\cdot\vec{v}(t))=\vec{u}^{\prime}(t)\cdot\vec{v}(t)+\vec{u}(t)\cdot\vec{v}^{\prime}(t)$
$\frac{d}{dt}(\vec{u}(t)\times\vec{v}(t))=\vec{u}^{\prime}(t)\times\vec{v}(t)+\vec{u}(t)\times\vec{v}^{\prime}(t)$
$\frac{d}{dt}(\vec{u}(f(t))=f^{\prime}(t)\vec{u}^{\prime}(f(t))$

간단히 표기하면

$\bullet\; (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$
$\bullet\; (u\times v)'=u'\times v + u\times v'$

발산정리,divergence_theorem
스토크스_정리,Stokes_theorem
그린_정리,Green_theorem

from https://blog.naver.com/mykepzzang/221357195753 끝부분

$\nabla\times v=0$ 이면, $v=\nabla f$ 를 만족하는 스칼라 함수 $f$ 가 반드시 존재.

$\nabla\cdot v=0$ 이면, $v=\nabla \times A$ 를 만족하는 벡터 (함수? 장?) $A$ 가 반드시 존재.

+ 참고로
$f$ 가 미분가능한 스칼라장,scalar_field이면 $\nabla f$ 는 벡터,vector.
$v$ 가 미분가능한 벡터장,vector_field이면 $\nabla v$ 는 텐서,tensor.

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3. cleanup ¶

정의
$d\vec{\ell}=dx\hat{\imath}+dy\hat{\jmath}+dz\hat{k}$

미소길이? 미소변위?

위 뜻을 이제는 좀 정확히 알 듯.

전제: 2차원 평면 위에 곡선,curve $C:\vec{r}(t)$ 가 있고 $a\le t \le b$ 이다. 그러니까 매개변수방정식,parametric_equation 표현.

일단 먼저

$x'(t)=\frac{dx}{dt} \;\to\; dx=x'(t)dt$
$y'(t)=\frac{dy}{dt} \;\to\; dy=y'(t)dt$

시작: $\vec{r}$ 이

$\vec{r}(t)=x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}$

이면 이것을 $t$ 로 미분하면

$\vec{r'}(t)=x'(t)\hat{i}+y'(t)j$ ...... 이하 i,j 위에 hat 생략
$\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}i+\frac{dy}{dt}j$

양변에 $dt$ 를 곱하면 (이하 셋은 순서 단계가 아니라 모두 같은 것)

$d\vec{r}=\frac{dx}{dt}dti+\frac{dy}{dt}dtj$
$d\vec{r}=x'(t)dti+y'(t)dtj$
$d\vec{r}=dxi+dyj$

관련: 벡터미적분, 미분,differential

좌표계,coordinate_system#s-11(벡터미적분을 위한 좌표계의 디퍼렌셜, 미소xx)

여러 좌표계의 미소길이/미소면적/미소부피 내용 있음

위치벡터,position_vector
벡터함수,vector_function
에 관련내용 있음.

at 2020-10-08 src: [https]

Khan Multivar. Calculus differential of a vector valued function
KWs: derivative/differential of vector valued function / position vector function

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4. ex. (+물리적 해석) ¶

$|\vec{r}(t)|={\rm constant}$ 인 것은? 보기만 해도 원이라는 것을 알 수 있지만
자기자신을 내적해도 상수이므로

$\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)={\rm constant}$

양변을 미분하면

$\vec{r}'(t)\cdot\vec{r}(t)+\vec{r}(t)\cdot\vec{r}'(t)=0$

내적은 교환법칙이 성립하므로

$\vec{r}'(t)\cdot\vec{r}(t)=0$

이것은 원,circle 궤도,orbit - 접선,tangent_line이 원 위의 점에 대한 위치벡터,position_vector와 직각(직교성,orthogonality)인.

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5. 물리에 응용: 운동량,momentum, 각운동량,angular_momentum 관련 TOCLEANUP ¶

운동량(p)의 시간 미분은 힘(F)이다.

$\frac{\rm d}{\mathrm{d}t}\vec{p}=\frac{\rm d}{\mathrm{d}t}(m\vec{v})=\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\cdot\vec{v}+m\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}$

질량은 시간에 대해 변하지 않으므로, (dm/dt=0)

$=m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=m\vec{a}=\vec{F}$

마찬가지 방법으로, 각운동량(L)의 시간 미분은 토크,torque(τ)이다.

$\frac{\rm d}{\mathrm{d}t}\vec{L}=\frac{\rm d}{\mathrm{d}t}(\vec{r}\times\vec{p})=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\times\vec{p}+\vec{r}\times\frac{\rm d\vec{p}}{\mathrm{d}t}$

dr/dt=0이 된다고 한다 why?
그리고 dp/dt가 위에서 F였으므로,

$=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{\tau}$

CHK

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6. from 이정일 강의; TOCLEANUP TOMERGE ¶

$d(\vec{A}\cdot\vec{B})=d\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot d\vec{B}$
$d\vec{A}{}^2=2\vec{A}\cdot d \vec{A}$

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7. 벡터연산자 grad/div/curl ¶

	연산대상	연산결과
grad	스칼라장	벡터장
div	벡터장	스칼라장
curl	벡터장	벡터장

Q: 그럼 스칼라장을 스칼라장으로 만드는 것은? 단순 수치를 더하거나 곱함? or 라플라시안?

Link: 스칼라장,scalar_field and 벡터장,vector_field

벡터미분연산자 ∇
위치벡터,position_vector $\vec{r},$ 변위,displacement $d\vec{r}$ 을 각 좌표계,coordinate_system로.

	$\vec{r}=$	$d\vec{r}=$	$\nabla=$
직각좌표계	$x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}$	$\hat{x}dx+\hat{y}dy+\hat{z}dz$	$\hat{x}\frac{\partial}{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial}{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial}{\partial z}$
원통좌표계	$\rho\hat{\rho}+z\hat{z}$	$\hat{\rho}d\rho+\hat{\phi}\rho d\phi+\hat{z}dz$	$\hat{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}+\hat{\phi}\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \phi}+\hat{z}\frac{\partial}{\partial z}$
구면좌표계	$r\hat{r}$	$\hat{r}dr+\hat{\theta}rd\theta+\hat{\phi}r\sin\theta d\phi$	$\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}+\hat{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}+\hat{\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}$

dr에 뭔가 곱해지는 것이 있으면 ∇에는 같은 것을 나누는 것이 있음

grad, div, curl을 직각좌표계로 대표하기(? 표현하기?)

grad	$\nabla u=\hat{x}\frac{\partial u}{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial u}{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial u}{\partial z}$
div	$\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$
curl	$\nabla\times\vec{F}=\hat{x}\left(\frac{\partial F_x}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right) + \hat{y}\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right) + \hat{z}\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)$

ALSOIN 좌표계, 델,del,나블라,nabla
CHK; from https://www.youtube.com/watch?v=Sa7xDuWEvZ4 스토크스 정리와 다이버젠스 정리 2분 (차동우)

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8. nabla, del, ∇ 기호의 정의 ¶

$\nabla\eq\left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)$

grad f	$\nabla f$
div f	$\nabla\cdot f$
curl f	$\nabla\times f$

i.e.

grad	$\nabla$
div	$\nabla\cdot$
curl	$\nabla\times$

Copied to 델,del,나블라,nabla

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9. grad, gradient, 기울기, 경사 ¶

$\nabla f$

Moved to subpage 기울기,gradient

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10. div, divergence, 발산 ¶

$\nabla\cdot f$
발산,divergence

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11. curl, rot, rotation, 회전 ¶

$\nabla\times f$
회전,curl

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12. 라플라시안 Laplacian ¶

div(grad(f)) = ∇·∇f = ∇²f
그래디언트(기울기)의 발산, divergence of gradient
라플라시안,Laplacian

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13. 비교 표 ¶

2차원

발산,divergence	$\text{div}\vec{F}$	$\nabla\cdot\vec{F}$	$\left[ {\frac{\partial}{\partial x} \atop \frac{\partial}{\partial y}}\right]\cdot\left[{F_x \atop F_y}\right]$	$\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}$
회전,curl	$\text{curl}\vec{F}$	$\nabla\times\vec{F}$	$\left[ {\frac{\partial}{\partial x} \atop \frac{\partial}{\partial y}}\right]\times\left[{F_x \atop F_y}\right]$	$\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}$

(

src 11m)

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14. curl(grad(f))=0 ¶

divergence와 curl의 성질

$f$ 가 연속된 2계편미분을 가지면,

the curl of its gradient is the zero vector

curl(grad(f))=0̅
$\nabla\times(\nabla f)=\vec{0}$

the curl of any conservative vector field is zero (vector?)

curl(F)=0̅
$\nabla\times\vec{F}=\vec{0}$

왜냐? conservative라는 것 자체가 위에서 $\vec{F}=\text{grad} f$ 를 뜻하므로.

증명: 연속이면 미분 순서가 중요하지 않아서 다 cancel되어 (Clairaut's thm) 값이 0이 됨.

(

src 11m)

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15. div(curl(F))=0 ¶

(아마 여기도 조건이 .. $f$ 가 연속된 2계편미분을 가지면,)

$\nabla\cdot(\nabla\times\vec{F})=0$
the divergence of a curl is zero

증명: (위와 마찬가지) 연속이면 미분 순서가 중요하지 않아서 다 cancel되어 (Clairaut's thm) 값이 0이 됨.

(

src 12:36)

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16. grad/div/curl: O'Neil 표현 ¶

이하 i, j, k에 벡터 표기 생략

$\vec{F}(x,y,z)=f(x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k$

$\nabla=\frac{\partial}{\partial x}i+\frac{\partial}{\partial y}j+\frac{\partial}{\partial z}k$

$\nabla\phi=\left(\frac{\partial}{\partial x}i+\frac{\partial}{\partial y}j+\frac{\partial}{\partial z}k\right)\phi$

$=\frac{\partial\phi}{\partial x}i+\frac{\partial\phi}{\partial y}j+\frac{\partial\phi}{\partial z}k=\textrm{gradient of }\phi.$

$\nabla\cdot\vec{F}=\left(\frac{\partial}{\partial x}i+\frac{\partial}{\partial y}j+\frac{\partial}{\partial z}k\right)\cdot(fi+gj+hk)$

$=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial h}{\partial z}=\textrm{divergence of }\vec{F}.$

$\nabla\times\vec{F}=\begin{vmatrix}i&j&k\\ {\partial/\partial x}&{\partial/\partial y}&{\partial/\partial z} \\ f&g&h \end{vmatrix}$

$=\left(\frac{\partial h}{\partial y}-\frac{\partial g}{\partial z}\right)i+\left(\frac{\partial f}{\partial z}-\frac{\partial h}{\partial x}\right)j+\left(\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}\right)k=\textrm{curl of }\vec{F}.$

(O'Neil AEM 7e p362)

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17. div, grad, curl, and all that ¶

Divergence Theorem

$\iint_S\vec{F}\cdot\hat{n}dS=\iiint_V\nabla\cdot\vec{F}dV$

Stokes' Theorem

$\oint_C\vec{F}\cdot\hat{t}ds=\iint_S\hat{n}\cdot\nabla\times\vec{F}dS$

Identities Involving the Operator ∇＊ (이하 $F, G$ 에 벡터 표시 $\vec{F}, \vec{G}$ 생략)

$\nabla(fg)=f\nabla g + g\nabla f$
$\nabla(F\cdot G)=(G\cdot\nabla)F+(F\cdot\nabla)G+F\times(\nabla\times G)+G\times(\nabla\times F)$
$\nabla\cdot(fF)=f\nabla\cdot+F\cdot\nabla f$ (????)
$\nabla\cdot(F\times G)=G\cdot(\nabla\times F)-F\cdot(\nabla\times G)$
$\nabla\cdot\nabla\times F=0$
$\nabla\times(fF)=f\nabla\times F+(\nabla f)\times F$
$\nabla\times(F\times G)=(G\cdot \nabla)F-(F\cdot \nabla)G+F(\nabla\cdot G)-G(\nabla\cdot F)$
$\nabla\times(\nabla\times F)=\nabla(\nabla\cdot F)-\nabla^2 F$
$\nabla\times\nabla f=0$