벡터함수,vector_function

함수. 정의역은 실수의 집합( $\mathbb{R}$ ), 치역은 벡터의 집합.
실수,real_number → 벡터,vector
$\mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$

정의역 실수는 시간 $t$ 인 경우가 많음. 아니어도 상관없음. mklink: { 매개변수,parameter 매개변수방정식,parametric_equation 매개곡선,parametric_curve }

QQQ vector-valued function과 완전히 같은건가? 관계?



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1. 설명

실수 $t$ 가 있고 그에 대한 함수 $f(t),\ g(t),\ h(t)$ 가 있을 때, 실수 $t$ 를 벡터 $(f(t),\ g(t),\ h(t))$ 로 연결하는 함수 $\vec{r}$ 을 벡터함수라 한다.
2차원의 경우
$\vec{r}(t)=\langle f(t),\ g(t)\rangle=f(t)\vec{i}+g(t)\vec{j}$
3차원의 경우
$\vec{r}(t)=\langle f(t),\,g(t),\,h(t)\rangle = f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}+h(t)\mathbf{k}$
이 때 $f,\ g,\ h$ 를 벡터함수 $\vec{r}$ 을 이루는 성분함수라고 한다.

매개변수방정식 $x=f(t),\; y=g(t),\; z=h(t)$ 로 나타낼 수도 있다.
모든 $t$ 에 대해 벡터 $(f(t),\ g(t),\ h(t))$ 의 시점을 원점으로 놓으면 종점은 $(f(t),\ g(t),\ h(t))$ 이다. 세 함수 $f(t), g(t), h(t)$ 가 연속이면 벡터 $\vec{r}(t)$ 의 종점은 위 매개방정식이 나타내는 곡선을 나타낸다.
2020-09-12
벡터함수
$\vec{F}(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k}$
여기서 $\vec{F}(t)$ 는 3D 공간에서 curve의 위치벡터,position_vector로 볼 수 있고, 각 t에 대해 origin에서 점 $(x(t),y(t),z(t))$ 까지 그은 화살표로 생각할 수 있다. 이러면 좌표함수들(coordinate functions)은 curve의 매개변수방정식,parametric_equation이다. F의 미분은
$\vec{F}'(t)=x'(t)\vec{\imath}+y'(t)\vec{\jmath}+z'(t)\vec{k}$
(생각: 기저,basis(i, j, k)를 상수로 생각하고 나머지 함수들은 미분한 그런 모양새....)

곡선의 길이는(호길이,arclength) $x=x(t),y=y(t),z=z(t),a\le t\le b$ 일 때
$\int_a^b\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}dt=\int_a^b \left\|\vec{F}{}'(t)\right\|dt$

(O'Neil AEM Ch11 맨 앞)

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2. Example 1

$\vec{r}(t)=(a\cos(-t),\;y=b\sin(-t))$
이것은 타원
$\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=1$
을 나타낸다.

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3. 벡터함수의 극한

$\vec{r}(t)=\langle f(t),g(t),h(t) \rangle$ 일 때
각 성분의 극한이 존재하면
$\lim_{t\to a}\vec{r}(t)$
$=\lim_{t\to a}\langle f(t),g(t),h(t)\rangle$
$=\left\langle \lim_{t\to a}f(t), \lim_{t\to a}g(t), \lim_{t\to a}h(t) \right\rangle$

tmp CHK
$\vec{r}(t)=\left\langle f(t),g(t),h(t) \right\rangle$ 일 때,
$\lim_{t\to a}\vec{r}(t)=\left\langle \lim_{t\to a}f(t),\lim_{t\to a}g(t),\lim_{t\to a}h(t) \right\rangle$
로 정의한다.

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4. 벡터함수의 연속 및 미적분

벡터함수 r이
$\lim_{t\to a}\vec{r}(t)=\vec{r}(a)$
를 만족하면 a에서 연속이라고 한다.
벡터함수 $\vec{r}$ 이
$\lim_{t\to a}\vec{r}(t)=\vec{r}(a)$
일 때 $\vec{r}$ 은 $a$ 에서 연속이라고 한다. (김도형)
벡터함수를 미적분,calculus할 수도 있음 - See 벡터미적분,vector_calculus



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5. 2017-12-25, 최성우, kocw

// from [http]벡터함수의 미분과 적분
$\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2$
이렇게 실수가 평면곡선에 대응하거나,
$\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^3$
이렇게 실수가 공간곡선으로 대응할 수 있음

$\vec{r}:\,\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^3$
또는
$\vec{r}(t)=(r_1(t),r_2(t),r_3(t))$
$=r_1(t)\vec{i}+r_2(t)\vec{j}+r_3(t)\vec{k}$

벡터함수의 극한: 각 성분의 극한
$\lim_{t\to a}\vec{r}(t):=\left( \lim_{t\to a}r_1(t),\; \lim_{t\to a}r_2(t),\; \lim_{t\to a}r_3(t) \right)$

벡터함수의 연속
$\lim_{t\to a}\vec{r}(t)=\vec{r}(a)$ 일 때, $\vec{r}$ 은 $a$ 에서 연속

예: $\vec{r}(t)=(\cos t,\; \sin t,\; t)=\cos(t)\hat{\rm i}+\sin(t)\hat{\rm j}+t\hat{\rm k}$ 는 나선(helix, spiral)가 됨
이것을 xy평면에 비춘 모양은 $x^2+y^2=\cos^2t+\sin^2t=1$ 이므로 원이 됨

벡터미분의 정의
$\vec{r}{}'(t)=\frac{d}{dt}\vec{r}=\frac{d\vec{r}}{dt}:=\lim_{h\to 0}\frac{\vec{r}(t+h)-\vec{r}(t)}{h}$

벡터함수에서도 미적분학의기본정리,FTC가 성립

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6. Thomas Ch11 벡터함수

공간에서 입자 좌표,coordinate가 $I$ 에서 정의된 다음 함수로 나타날 때,
$x=f(t),\,y=g(t),\,z=h(t),\;\;t\in I$
점들 $(x,y,z)=(f(t),g(t),h(t))$ 는 그 입자의 경로,path라 부르는 곡선,curve을 구성한다.

원점,origin에서부터, 시간 $t$ 일 때 입자의 위치,position $P(f(t),g(t),h(t))$ 까지로 정의된 벡터,vector
$\vec{r}(t)=\overrightarrow{OP}=f(t)\hat{i}+g(t)\hat{j}+h(t)\hat{k}$
는 입자의 위치벡터,position_vector이다.
함수,function $f,g,h$ 는 위치벡터의 성분 또는 성분함수(component function)이다.

정의역 $D$ 위에서의 벡터함수(vector function) 또는 벡터값함수(vector-valued function)란, $D$ 의 각 원소를 공간,space의 한 벡터로 대응시키는 규칙이다.
$D$ 는 실수,real_number일수도, 평면,plane일수도, 공간일수도 있다. 평면이나 공간에서 정의된 벡터함수는 벡터장,vector_field을 나타내게 된다.

실수값함수를 벡터함수와 구별하기 위해 스칼라함수(scalar function)라고 부른다.

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6.1. 벡터값함수의 극한

정의역 $D$ 에서 정의된 한 벡터함수
$\vec{r}(t)=f(t)\hat{i}+g(t)\hat{j}+h(t)\hat{k}$
과 한 벡터 $\vec{L}$ 이 있다.

임의의 양수 $\epsilon$ 에 대해서,
적당한 양수 $\delta$ 가 존재하여,
$0<|t-t_0|<\delta$ 인 모든 $t\in D$ 에 대해,
$|\vec{r}(t)-\vec{L}|<\epsilon$ 을 만족할 때,
$\vec{r}$ 은 $t$ 가 $t_0$ 로 접근할 때 극한 $\vec{L}$ 을 갖는다고 하고
$\lim_{t\to t_0}\vec{r}(t)=\vec{L}$
로 쓴다.


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6.2. 벡터값함수의 연속

벡터함수 $\vec{r}(t)$ 가
$\lim_{t\to t_0}\vec{r}(t)=\vec{r}(t_0)$
를 만족할 때 한 점 $t=t_0$ 에서 연속이라 한다.

정의역 구간의 모든 점에서 연속일 때 벡터함수는 연속이라 한다.


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7. 공간곡선 space curve

공간곡선,space_curve 페이지가 필요? 아님 곡선,curve으로 충분?

$f,g,h$ 를 구간 $I$ 에서 연속인 실숫값 함수라 하고 $t$ 가 구간 $I$ 전체에서 변할 때 다음 식을 만족하는 공간,space의 모든 점,point $(x,y,z)$ 의 집합,set $\mathcal{C}$ 를 공간곡선(space curve)이라 한다.
$x=f(t),$
$y=g(t),$
$z=h(t)$
이것은 $\mathcal{C}$ 의 매개변수방정식,parametric_equation이며 $t$ 는 매개변수,parameter이다.


// from 김도형 http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1141060 6 1:23m
{
벡터함수 $\vec{r}:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3$
$t \mapsto \left\langle f(t),g(t),h(t) \right\rangle$
를 매개변수방정식,parametric_equation으로 생각하면
$C=\left\{\left\langle f(t),g(t),h(t) \right\rangle \middle| t\in I \right\}$ 을 공간곡선으로 생각할 수 있다.

공간곡선의 미분
즉
벡터함수의 도함수 (벡터함수,vector_function의 미분,derivative)

정의) 벡터함수 $\vec{r}:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3$ 의 도함수는 다음과 같이 정의.
$\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{r}'(t) = \lim_{h\to 0}\frac{\vec{r}(t+h)-\vec{r}(t)}{h}$

$\vec{r}'(t)$ 의 기하학적 의미 → 접벡터,tangent_vector
}


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8. Compare