복소수,complex_number

(복소수체,complex_field = 복소수집합 { [https]수학백과: 복소수체 } )과 그 member인 복소수를 구분해야 할 듯? 페이지를 분리하지는 말고 서술을 나누어서

$(\mathbb{C},+,\cdot)\;\text{vs}\;\mathbb{C}$ 페이지 분리?
2023-12-07 이건 semantics + wiki policy 문제. 각종 집합에 대해, 집합만 다룬 페이지와 '그 위에 대한' operations까지 다룬 page를 명확히 분리하는 방향으로 간다면 페이지가 많아진다(내용이 분리된다)는 단점이 생기는데, 모든 집합마다 이렇게 하는 건 효율이 떨어지니, 어느 범위까지 만드는 게 좋을지... 이건 분명 경우에 따라 다를텐데. TBD later.


실수,real_number로 된 ordered pair(2-튜플,tuple)과 equivalent? 각각 실수부분,real_part, 허수부분,imaginary_part.
따라서

복소수체 기호 : ℂ

복소수체,complex_field.
체,field이지만 순서체,ordered_field는 아니다. https://everything2.com/title/complex numbers can%27t be ordered
$\mathbb{C}$ 보다 대수적(algebraically)으로 큰 체는 없다.


Sub:
극형식,polar_form: 복소수를 그 절대값과 편각으로 나타낸 것
편각,argument

복소전력,complex_power (응용)


실수,real_number $a, b$허수단위,imaginary_unit $i=\sqrt{-1}$ 에 대하여
$z=a+bi$
복소수라고 한다. 이 때 a를 z의 실수부분, b를 허수부분이라 한다.
$\operatorname{Re}(z)=a$ : z의 실수부(real part)
$\operatorname{Im}(z)=bi$ : z의 허수부(imaginary part)
b? bi? 뭔지 확실히
Jeffrey AEM p11에서는 b

한 복소수(a + bi)는 두 실수 순서쌍,ordered_pair (a, b)와 대응될 수 있다.

복소수가 실수를 2차원 평면으로 확장했다면, 3차원 공간으로 확장한 사원수,quaternion가 있음


1. 표기

복소수 집합은 보통 ℂ, $\mathbb{C}$ 로 표기함. (complex의 첫글자를 칠판_볼드체,blackboard_bold로 쓴 것)

복소수 전체의 집합은
$\mathbb{C}=\lbrace a+bi:\;a,b\in\mathbb{R}\rbrace$

복소수 변수는 보통 로마자,Latin_alphabet $z$ 를 쓴다.

실수 $a, b$ 가 있고 $(a, b \in \mathbb{R})$
$i=\sqrt{-1}$ (허수단위,imaginary_unit)
$z = a+bi$

또는 순서쌍,ordered_pair
$\mathbb{C}=\lbrace (x,y):\; x,y\in\mathbb{R}\rbrace$
에서
$(1,0)=1$ 을 실수단위(real unit),
$(0,1)=i$ 를 허수단위(imaginary unit)로 정의하고...

$i^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)$
or
$i^2=-1$


2. 분류

복소수실수,real_number허수,imaginary_number로 둘로 나눌 수 있음.

복소수
$a+bi$
꼴에서 ( $a,b\in\mathbb{R}$ )
$b=0$ : 실수
$b\ne 0$ : 허수
$a=0$ and $b\ne 0$ : 순허수 (pure imaginary number)
$b\ne 0$ and $a\ne 0$ : 순허수가 아닌 허수

실수부분이 0인 복소수를 순허수(pure imaginary number)라 한다. ( $bi$ 꼴 )
그럼 0도 순허수라는 말? 아님 0은 제외?

순허수의 제곱은 음수. - 그럼 0은 제외? 두산백과는 0 제외임.



3. 표현, 형식, form

직교좌표형, 직각좌표형식, rectangular form
z = x + yi
극좌표형, 극형식, polar form, 극형식,polar_form
z = r(cosθ + isinθ) = rθ
복소지수형
z = re

$z=x+yi$
$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\angle\theta$
$z=re^{i\theta}$


복소수의 표시 형식

직각좌표 형식 $\mathbf{A}=a+jb$ 실수부+허수부
극좌표 형식 $\mathbf{A}=A\angle\theta$ 크기∠편각
삼각함수 표시 $\mathbf{A}=A(\cos\theta+j\sin\theta)$ 크기×삼각함수
지수 형식 $\mathbf{A}=Ae^{j\theta}$ 크기×지수함수


직교 형식
$z=x+jy$

지수 형식
$z=re^{j\theta}$

극 형식, 극형식,polar_form
$z=r\underline{/\theta}$
이 때, $r=|z|,\quad\theta=\arg z$

3.1. 복소수의 직교형식?

기본

3.2. 복소수의 극형식 polar form , 극좌표 형식

3.3. 복소수의 지수 형식 exponential form

직교좌표형식과 오일러_공식,Euler_formula으로 변환?


3.4. 복소수의 행렬 표현(matrix representation)

$z=a+bi \quad\Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}$

$|z|^2=\det\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}$


TBW why

[https]수학백과: 복소수의 중간쯤 '복소수의 행렬 표현' 참조

tmp links ko
복소수의 행렬 표현 https://blog.naver.com/birth1104/220603795591

4. 복소수의 덧셈,addition과 뺄셈

Trivial.
$(a+bi)\pm(c+di) = (a\pm c) + (b \pm d)i$ (복호동순)

복소수의 덧셈과 뺄셈은 직교좌표로, 곱셈과 나눗셈은 극좌표로 하는 게 편함.

매우 쉬운.. 근데 대충 생각나는 대로 적어서 CHK
{
덧셈은
  • 삼각형 법
  • 평행사변형 법
  • 실수부별로, 허수부별로 덧셈
뺄셈은
  • 방향을 반대로 하여 덧셈.. 즉 a+b는 a+(-b)
}

이건 elementwise operation. elementwise_operation

5. 복소수 곱셈,multiplication and 나눗셈,division



tmp; cleanup

$i$ 를 곱하는 것은 원점 중심으로 90° 회전,rotation과 동일.
일반화하면...tbw
$-1$ 을 곱하는 것은 x축대칭이었나 ....tbw


tmp
곱의 절대값 = 두 절대값의 곱
곱의 각 = 두 각의 합

나누기의 절대값 = 두 절대값의 몫
나누기의 각 = 두 각의 차

인듯.

약간 투박하지만 \underline{/...}로 각을 표기해 보았음. (임시, TOREWRITE)

$A=a\underline{/\alpha},\; B=b\underline{/\beta}$ 일 때,
$AB=(a\underline{/\alpha})(b\underline{/\beta})=ab\underline{/\alpha+\beta}$
$\frac{A}{B}=\frac{a\underline{/\alpha}}{b\underline{/\beta}}=\frac{a}{b}\underline{/\alpha-\beta}$


tmp from Libre:복소수#s-3 복소평면, chk

극좌표,polar_coordinate로 표현한 복소수의 곱셈

$(r,\theta)_{\rm polar}=r\cos\theta + ir\sin\theta$ 라 하면,

$(r_1,\theta_1)_{\rm polar}\cdot(r_2,\theta_2)_{\rm polar}=(r_1r_2,\theta_1+\theta_2)_{\rm polar}$

즉 원점에서의 거리 $r$ 은 곱해지고,
각도는 더해진다


두 복소수가 다음과 같을 때
$z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)$
$z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$
곱은
$z_1z_2=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]$
여기서 양변의 절대값을 취하면, 곱의 절대값은 각 절대값의 곱과 같음
$|z_1z_2|=|z_1| |z_2|$
곱의 편각은 각 인자의 편각,argument의 합과 같음
$\textrm{arg}(z_1z_2)=\textrm{arg}z_1+\textrm{arg}z_2$ 여기에 '( $2\pi$ 의 정수배까지)'라고 쓰여 있는데 뜻은 알겠지만 정확히 표현하면?
나눗셈은
복소수 $z_1$$z_1=(z_1/z_2)z_2$ 를 만족하므로, $|z_1|=|(z_1/z_2)z_2|=|z_1/z_2| |z_2|$ 이고 양변을 $|z_2|$ 로 나누면
$\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$
$\textrm{arg}z_1=\textrm{arg}[(z_1/z_2)z_2]=\textrm{arg}(z_1/z_2)+\textrm{arg}z_2$ 이고 양변에서 $\textrm{arg}z_2$ 를 빼면
$\textrm{arg}\frac{z_1}{z_2} = \textrm{arg}z_1 - \textrm{arg}z_2$ (2pi의 정수배까지)
위 두 식을 결합하면
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left[ \cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2) \right]$
(Kreyszig)


$z_1z_2$
$=r_1r_2(\cos(TBW$
$=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$

$z_1/z_2=$
$=(r_1/r_2)(\cos(TBW$
$=(r_1/r_2)e^{i(\theta_1-\theta_2)}$

5.1. Quotient(division) of complex numbers

Let $z_1=a+ib$ and $z_2=c+id.$
그러면 몫,quotient $z_1/z_2$ 는 이렇게 정의된다.
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^2+d^2},\;z_2\ne 0$
하지만 실제는 이렇게 하지는 않는다. 분자와 분모에 분모의 켤레를 곱해 분모를 실수로 만드는 방법을 쓴다.
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\bar{z_2}}{z_2\bar{z_2}}$
(즉 분모의 유리화와 유사)
(Jeffrey AEM p14)

6. 복소수의 거듭제곱 power of a complex number



$z=r(\cos x+i\sin x) \longrightarrow z^2=r^2(\cos(2x)+i\sin(2x))$ CHK

거듭제곱
$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$
$z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)=r^ne^{in\theta}$

$z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1),$
$z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$ 이면

$z_1z_2=r_1r_2(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2))$
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2))$

이상 CLEANUP!!!

7. 복소수의 지수

7.1. 드무아브르 de Moivre 정리

$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$

θ는 임의의 실수
n은...? 정수? 자연수?


복소수
$z=x+iy=r\left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)$
$=re^{i\theta}$
일 때
$z^n=r^n e^{in\theta}$
$=r^n\left(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\right)$ (드 무아브르 정리)

main article : 드무아브르_공식,de_Moivre_s_formula

8. 켤레, conjugate, 공액

복소수 $z=a+bi$ 의 켤레복소수는
$\bar{z}=\bar{a+bi}=a-bi$

See 켤레복소수,complex_conjugate

9. 대칭

복소수의 대칭성,symmetry

$z,\, -z$ 는 원점대칭
$z,\, \bar{z}$ 는 x축 대칭 (켤레)

10. 복소수의 절대값(modulus), absolute value, 크기size, magnitude, 노름norm



http://oeis.org/wiki/Absolute_value#Complex_norm 를 보면 complex_norm = complex_modulus 이고 이것은 복소수에 대해서는 절대값,absolute_value과 일치... ?

복소수
$z=a+bi$
의 절대값(modulus)의 정의는 다음과 같다.
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

$z=a+ib$modulus$|z|$ 로 표기하며, magnitude로도 불린다.
$|z|=(a^2+b^2)^{1/2}=(z\bar{z})^{1/2}$
(Jeffrey AEM p14)

tmp from https://tendowork.tistory.com/33
{
z를 두 성분의 벡터로 생각할 수 있다.
복소수 z의 크기,size를 module이라 한다.
z를 스칼라,scalar로 보았을 때는 z의 module은 z의 절대값,absolute_value이 되고
z를 벡터,vector로 보았을 때는 z의 module은 z의 노름,norm이 된다.
}


11. 복소수의 편각 argument

Moved to 편각,argument

12. 복소수의 (거듭)제곱근


복소수의 n거듭제곱은 일정한 각으로 n번 회전하는 것과 관련이 있으므로, n거듭제곱근은 전체 회전각을 n으로 나누는 것과 관련? CHK


13. 성질 properties, 항등식

14. 복소평면 complex plane, 가우스 평면, Argand diagram


하나의 복소수를 실수부 허수부(혹은 허수부 * i? CHK)의 합으로 볼 수 있고, 이것은 복소평면,complex_plane 위의 한 점,point으로 볼 수 있다.
{
수직선(1차원)을 한 차원 더 일반화해 2차원으로 만든 것.

x축: 실수축 real axis
y축: 허수축 imaginary axis

복소수,complex_number
z = x + iy
는 직교좌표계의 (x, y) 좌표에 대응된다.

망델브로_집합,Mandelbrot_set
{
엄청나게 복잡한 집합을 놀라울 정도로 간단하게 정의한 사례.
$z\mapsto z^2+c$
c는 특정한 기준으로 선택된 복소수이다.
z가 무한대로 나오면 c에 해당하는 점을 하얗게 칠하고, z가 어떤 제한된 영역 안에 있으면 c지점을 검은색으로 칠한다. 이런 작업을 반복하여 검게 칠해진 영역이 바로 만델브로트 집합이다.

aka 만델브로트_집합
Benoit_Mandelbrot




TODO 위 둘 나중에 서로 연결 및 각각 집합,set, Srch:fractal, 자기유사성 self-similarity (curr at 유사도,similarity), ... 과 연결
(tmp) See also 점화식,recurrence_relation#s-5 ...즉 점화관계와도 연결

}

AKA 가우스평면, 아르강 다이어그램(Argand diagram), 아르강 평면(Argand plane), 데카르트 평면


15. 대수학의기본정리(FTA), 다항식의 근/해 관련

실계수 다항식,polynomial이 항상 실수(또는 0) 근을 갖지는 않는다. (ex. P(x)=x2+1) 하지만 모든 다항식이 복소수근은 반드시 갖는다.

다음 사상,map전단사,bijection.
$\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{C}$
$(x,y)\mapsto x+iy$

(복소수 계수 방정식의 해로 나올 수 있는? or ... 대수적으로 가장 넓은 범위의 수.??

대수학의기본정리,fundamental_theorem_of_algebra,FTA says
모든 n차 방정식은 복소수 영역에서 n개의 근을 갖는다.
복소계수를 갖는 임의의 다항식,polynomial은 복소수해를 반드시 갖는다.
$f(x)$$n$다항식,polynomial이고 $n\ge 1$ 이면, 방정식 $f(x)=0$ 은 적어도 한 복소수근을 갖는다.




http://oeis.org/wiki/Complex_numbers
[https]수학백과: 복소수
{
대체로 easy.
section 5. 복소수의 행렬,matrix표현(matrix_representation): 복소수 $z=a+bi$ 를 행렬 $\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}$ 로 생각할 수 있다 - 이때 복소수의 절대값의 제곱은 대응하는 행렬의 행렬식,determinant과 같다.
}