대충
양쪽 끝 두 점과 그 사이 점을 생각, 양쪽 끝 두 점의 weighted_average([[할선,secant_line]]?)와 그 사이 x의 함수값 f(x)을 생각, 이 두 점의 y 좌표를 비교해서, "항상" 크거나(＞)/작거나(＜)/같음또는크거나(≥)/같음또는작거나(≤)/같거나(＝) 이걸로 convex function인지 concave function인지 그리고 strict인지 아닌지, 여부가 정해지는? (WpSimple:Convex_function and 내 생각, chk)

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[[할선,secant_line]]

= From 수학백과: 옌센 부등식 =
실수 구간에서 정의된 함수 $f$ 가 ‘'''아래로 볼록'''’ 혹은 ‘'''볼록함수'''’라는 것은,
구간 내 임의의 두 점 $x_1,x_2$ 와 $0<t<1$ 인 임의의 실수 $t$ 에 대해 다음 [[부등식,inequality]]이 성립한다는 것.
 $f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)$
여기서 (부등식의) 등호가 $x_1=x_2$ 일 때만 성립하면 순볼록함수라고 한다.

([[옌센_부등식,Jensen_inequality]] 설명에 앞선 내용)

= tmp cleanup =
''/*from [[https://www.di.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid648405.pdf this slide]] p2*/''
{
A function is said to be '''convex(볼록한)''' over an interval $(a,b)$
if for every $x_1,x_2\in(a,b)$ and $0\le\lambda\le 1,$
 $f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\le\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$
A function $f$ is said to be '''strictly convex(순볼록)''' if equality holds only if $\lambda=0\textrm{ or }\lambda=1.$

''(생각: [[선형성,linearity]] 둘 중의 하나와 식의 모양이 비슷하다. 다만 등호가 아니고 부등호다.)''

Thm:
함수 $f$ 가 모든 점에서
 음이 아닌(non-negative) 이계도함수를 가지면, 함수는 볼록(convex).
 양인(positive) 이계도함수를 가지면, 함수는 순볼록(strictly convex).
}

= Excerpt: 김홍종 =
[[구간,interval]] $I\subset\mathbb{R}$ 에서 정의된 실가(real valued) 함수 $f$ 가 '''볼록함수'''라는 것은
구간 $I$ 의 임의의 두 점 $a,b$ 에 대하여 구간 $[a,b]$ 에서 함수 $f$ 의 그래프가 이 그래프의 양끝점을 이은 [[선분,line_segment]]보다 아래쪽에 있다는 것을 뜻한다.
다시 표현하면,
$f:I\to\mathbb{R}$ 이 '''볼록함수'''라는 것은 구간의 임의의 두 점 $a,b$ 와 임의의 $t\in[0,1]$ 에 대하여
 $f((1-t)a+tb)\le(1-t)f(a)+tf(b)$
인 함수를 말한다.
이와 같은 정의에서는 [[상수함수,constant_function]]도 볼록함수이다. 상수함수를 제외하려면 부등호 '<'를 사용한 '''순볼록함수'''를 정의하면 된다.
함수 $f(x)$ 가 [[연속함수,continuous_function|연속인 경우]]에는, $f(x)$ 가 볼록함수일 필요충분조건은
 $\forall a,b,\;\; f\left(\frac{a+b}{2}\right) \le \frac{f(a)+f(b)}{2}$
이다.
함수 $f(x)$ 가 [[미분가능함수,differentiable_function|미분가능한 경우]]에는, $f(x)$ 가 볼록함수일 필요충분조건은 도함수 $f'(x)$ 가 증가함수인 것이다.
함수 $f(x)$ 가 두번 미분가능한 경우에는, $f(x)$ 가 볼록함수일 필요충분조건은 $f''(x)\ge 0$ 이다.

(김홍종 미적1+ p390, 부록 수학사전)

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관련:
[[옌센_부등식,Jensen_inequality]]
[[볼록최적화,convex_optimization]]
[[볼록집합,convex_set]]과 관계서술tbw

비교: [[오목함수,concave_function]] - writing
{
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338281&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 아래로 오목]] = 위로 볼록 = 오목함수
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338278&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 위로 볼록]]
}

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Twins:
WpSimple:Convex_function
https://mathworld.wolfram.com/ConvexFunction.html
https://developers.google.com/machine-learning/glossary?hl=ko#convex-function
[[WpKo:볼록_함수]]
[[WpEn:Convex_function]]
https://ratsgo.github.io/convex%20optimization/2017/12/26/convexfunction/
https://ncatlab.org/nlab/show/convex+function

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3340667&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 위로 오목]] = 아래로 볼록 = 볼록함수
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338280&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 아래로 볼록]]
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Up: [[함수,function#s-43.1]]
 [[오목볼록,concave_and_convex]], [[볼록성,convexity]]. [[볼록해석,convex_analysis]]?