미끄러지지 않고 굴러가는 원형([[원,circle]], 바퀴wheel, 굴렁쇠hoop etc) 위의 한 점이 그리는 곡선?

식:
 $x=a\cdot(\theta-\sin\theta)$
 $y=a\cdot(1-\cos\theta)$
$a$ 는 굴렁쇠의 반지름, $r$ 기호도 쓰임

또는 반지름 $r$ 인 원이 굴러간(원의 중심은 각 $\theta$ 라디안만큼 회전했으며, 회전해서 바닥에 닿은 거리는 $r\theta$ 만큼인) 상황을 그림으로 그리면 원 위의 점을 $P(x,y)$ 라 할 때 $y=r-r\cos\theta,\,x=r\theta-r\sin\theta$ 임을 확인 가능, 그걸 정리하면
 $x=r(\theta-\sin\theta)$
 $y=r(1-\cos\theta)$
 $\theta\in\mathbb{R}$
(Stewart)

= KU강우석 2021-03-29 =
$x,y$ 로 나타내기

반지름 $r$ 인 원이 각 $t$ 만큼 굴러갔을 때,
굴러가면서 바닥에 닿은 길이 (부채꼴의 호의 길이) : $rt$
 $x=rt-r\sin t$
$y$ 는 간단. 
 $y=r-r\cos t$
한 바퀴 굴러간다면 $0 \le t \le 2\pi$

다른 방법으로, 반지름 $r$ 인 원의 맨 아래에 있는 점이 시계방향으로 회전하는 매개변수 표현(?)
 $\left( r\cos\left( -t-\frac{\pi}{2} \right), r\sin\left( -t-\frac{\pi}{2} \right) \right)$ 즉,
 $\left( r\cos\left( \frac{\pi}{2}+t \right), -r\sin\left( t+\frac{\pi}{2} \right) \right)$
 $(-r\sin t,-r\cos t)$
의 중심이 $(0,r)$ 에서 $(rt,r)$ 까지 굴러간다고 가정하고, 두 좌표를 더한 것이 사이클로이드 식이 됨
 $(-r\sin t,-r\cos t)+(rt,r)$

= 살짝 고찰 =
(helpful for memorizing)

원이 굴러가면서 점프하지 않는다. 하지만 시작점에서 무한히 멀어질 수 있다.
즉 $x$ 좌표는 무한히 커지지만, $y$ 좌표는 일정 범위 안에만 있다.
그리고 당연히 $-1 \le (\sin\text{ or }\cos) \le 1$ 이다.

따라서 $\theta$ 가 증가함에 따라,
식 $x=r(\theta-\sin\cdots)$ 는 $\theta$ 가 커지면 계속해서 무한히 커진다.
식 $y=r(1-\cos\cdots)$ 는 $\theta$ 가 아무리 커져도 어느 범위에서 벗어나지 않는다.

= θ를 소거하여 직교방정식으로 만드는 과정 =
 $1-\cos\theta=\frac{y}{a}$
 $\cos\theta=1-\frac{y}{a}=\frac{a-y}{a}$
 $\theta=\cos^{-1}\frac{a-y}{a}$
여기에
 $\sin\theta=\pm\sqrt{1-\cos^2\theta$
을 대입하면
 $x=a\left[\cos^{-1}\left(\frac{a-y}{a}\right)\mp\sqrt{1-\left(\frac{a-y}{a}\right)^2\right]$

이step이해가잘안됨,TOCLEANUP

----
[[에피사이클로이드,epicycloid]] : 원 밖
[[하이포사이클로이드,hypocycloid]] : 원 안 (큰 원 안에 작은 원이 내접하면서 구를 때, 작은 원 위의 한 점의 자취)
curtate_cycloid - 작성중
prolate_cycloid 

이것들은 librewiki에 비교 정리 잘해놓음.

----
'''Cycloid'''는 brachistochrone problem과 tautochrone problem의 [[해,solution]]임. See [[고전역학,classical_mechanics]] 맨 밑 부분.

Cycloid는 brachistochrome임. (Thomas)

parametric_curve이며 [[매개변수방정식,parametric_equation]]으로 나타는 게 편함. [[매개변수,parameter]]


----
AKA '''굴렁쇠선'''

Twins:
[[Libre:사이클로이드]]
[[WpKo:사이클로이드]]
[[WpEn:Cycloid]]
[[Namu:사이클로이드]]
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3340630&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 사이클로이드]]

up?: [[기하학,geometry]] [[곡선,curve]]