#noindex
'''산술 법칙, 산술, 셈법'''
## kms arithmetic -> 산술, 셈법
[[수,number]]와 그 [[연산,operation]]/[[계산,computation]]/calculation에 대해 탐구.

Sub:
 // 대상이 되는 [[수,number]] 종류에 따라, 혹은 [[수표현,number_representation]] 방식에 따라
 [[binary_arithmetic]]
  WtEn:binary_arithmetic (뻔함)
  [[WpEn:Category:Binary_arithmetic]]
  '''binary arithmetic'''과 binary logic (i.e. [[불_논리,Boolean_logic]])의 차이: ex.
   binary arithmetic에서는 1+1=10
   binary logic에서는 1+1=1
   (사실 위 두 줄의 연산 +의 의미가 좀 다르다, 각각 [[덧셈,addition]](binary addition) and OR연산(근데 덧셈의 일종이나 변형으로 볼 수도 있는??))
 [[integer_arithmetic]] - [[정수,integer]] / or [[natural_number_arithmetic]]?
  같은 방식으로 소수점 아래까지 다루면 유리수산술로 확장할 수 있고,
  루트 기호([[근호,radical_sign]])나 특수한 문자(e, π 등)을 써서 실수 산술로 쉽게 누구나 확장할 수 있으므로
  자연수 산술/정수 산술 만을 특정해서 서술하는 encyclopedic entry는 없는 것 같음.
 [[complex_arithmetic]] - [[복소수,complex_number]]
  '''complex number arithmetic'''
  이것도 i를 symbolic하게(i.e. '기호로') 다루면 실수 산술과 크게 다를 게 없으므로 마찬가지.
 // and..
 [[modular_arithmetic]] (모듈러/모듈로/모듈라/나머지/합동) (산술/산수/연산)
  Cmp:
  (1) Ggl:"n-ary vs n-adic"
  (2) [[modulo]] vs [[법,modulus]]
  { Google:modulo.vs.modulus / Ggl:"modulo modulus 차이" / WtEn:modulo / WtEn:modulus } // https://mathworld.wolfram.com/Modulus.html
  MKL
  [[residue]]
  [[나머지,remainder]]
  [[나눗셈,division]] esp [[정수나눗셈,integer_division]](curr [[나눗셈,division#s-1]])의 [[나머지,remainder]]
  [[정수론,number_theory]]
  [[환,ring]]
  [[아이디얼,ideal]]
  [[합동,congruence]](다른 합동 말고 정수론의 합동)
  NN:진법
  [[원시근,primitive_root]] ... WpSp:Primitive_root_modulo_n WpEn:Primitive_root_modulo_n
   모든 $m\in\lbrace 1, 2, \cdots, n-1 \rbrace$ 이 $g^x\equiv m\pmod n$ 형식으로 표현된다면, $g$ is a primitive root modulo $n.$ (ws)
  [[동치관계,equivalence_relation]] ... a≡b(mod c)같은 식으로 나타내는.
  [[p진수,p-adic_number]]
  tmp bmks en:
  https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Modular_arithmetic
  [[WtEn:modular_arithmetic]]
  Twins:
  https://en.citizendium.org/wiki/Modular_arithmetic - '''시계산술 패리티산술  ... 이렇게 쉬운 예부터 하나씩 TBW''  Google:clock_arithmetic Google:parity_arithmetic
  https://mathworld.wolfram.com/ModularArithmetic.html
  [[WpSp:Modular_arithmetic]]
  [[WpEn:Modular_arithmetic]]
  [[WpKo:모듈러_산술]]
  [[Libre:모듈러산술]]
 [[프레스버거_산술,Presburger_arithmetic]]
 로빈슨 산술(Robinson arithmetic) [[Robinson_arithmetic]]
  [[WpEn:Robinson_arithmetic]]
  [[WpJa:ロビンソン算術]]
  https://googology.fandom.com/wiki/Robinson_arithmetic
  https://ncatlab.org/nlab/show/Robinson+arithmetic
 // tmp: "결정가능한 1차논리 이론의 대표적 예시로 .. 프레스버거 산술(Presburger arithmetic) 따위가 있으며,
 // 결정 불가능한 이론의 예시로 산술의 기초적인 명제들을 증명할 수 있는 로빈슨 산술(Robinson arithmetic)이나 .. 따위가 있다."[* WpKo:결정가능성]
 // Misc. (del ok) [[대수학,algebra]]에는 이름 앞부분이 조금 비슷한 Robbins_algebra 가 있다
 [[페아노_산술,Peano_arithmetic]] - w
  MKL
  [[페아노_수,Peano_number]] w { https://wiki.haskell.org/Peano_numbers }
  [[페아노_공리,Peano_axiom]] w
  [[자연수,natural_number]]
  zeration = successor_function ... Ggl:zeration
  Twin
  https://www.pls-lab.org/en/Peano_arithmetic
  참고: [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5668883&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 불완전성 정리]]의 '2. 페아노 산술' 참조 - [[불완전성정리,incompleteness_theorem]] 설명에 앞서 '''페아노 산술'''을 1계논리(일계논리=[[일차논리,first-order_logic]]?)로 간략히 기술한 내용.
  https://ncatlab.org/nlab/show/Peano+arithmetic
  WpEn:Peano_arithmetic redir. to Peano_axioms의 한 섹션 - [[페아노_공리,Peano_axiom]]에서 [[induction_axiom]]을 제외하면 모두 [[일차논리,first-order_logic]]의 [[statement]]s들이다. 그리고 axiom of induction(귀납공리? [[귀납,induction]])은 [[술어,predicate]]에 대한 [[quantifier]]가 있으므로 [[이차논리,second-order_logic]]의 [[statement]]이다.
  ...Ggl:Peano+arithmetic
 헤이팅_산술,Heyting_arithmetic - w
  '''Heyting arithmetic'''
  Arend_Heyting ?
  [[WtEn:Heyting_arithmetic]] x 2024-04
  [[WpEn:Heyting_arithmetic]]
  https://ncatlab.org/nlab/show/Heyting+arithmetic
  ...Ggl:"Heyting arithmetic" Bing:"Heyting arithmetic" Naver:"Heyting arithmetic"
 스콜렘 산술 Skolem_arithmetic - w
  '''Skolem arithmetic'''
  Thoralf_Skolem ?
  [[WtEn:Skolem_arithmetic]] x 2024-04
  [[WpEn:Skolem_arithmetic]]
  ... Ggl:"Skolem arithmetic" Bing:"Skolem arithmetic" Naver:"Skolem arithmetic"
 Nelson_arithmetic 넬슨_산술 ?
  '''Nelson arithmetic'''
  https://ncatlab.org/nlab/show/Nelson+arithmetic
  ...Ggl:"Nelson arithmetic" Bing:"Nelson arithmetic"

 이상 중에서 몇가지는 [[integer_arithmetic]]이었고(?) ... i.e. 나중에 대상이 되는 [[수,number]]? [[대상,object]]?의 [[타입,type]]에 따른 산술의 분류도 필요, TBW
 [[floating-point_arithmetic]] = floating point arithmetic - curr see [[부동소수점,floating_point]] - floating-point_unit (FPU)에서 처리하는
 arbitrary-precision arithmetic (bignum arithmetic) - curr see 부동소수점 맨밑
 ... (나중에 체계가 잡혀지면 리스트 맨 위로 merge)

 [[second-order_arithmetic]] - w
  [[WpEn:Second-order_arithmetic]]
  https://ncatlab.org/nlab/show/second-order+arithmetic
  ... Google:Second-order.arithmetic
  see also https://www.pls-lab.org/en/Arithmetic
  Rel
  [[reverse_mathematics]] ... "Reverse mathematics is usually carried out using subsystems of second-order arithmetic"[* WpEn:WpEn:Reverse_mathematics]
   {
   [[WpEn:Reverse_mathematics]]
   }

 그렇다면 first-order_arithmetic 도 존재? - yes
 [[first-order_arithmetic]] - w
 Google:first+order+arithmetic

 third도?
 Google:third+order+arithmetic
 Google:higher+order+arithmetic
 ....
 (이건 이것들의 해당하는 [[-order_logic]]과 MKL) ... i.e. [[영차논리,zeroth-order_logic]]~[[명제논리,propositional_logic]] / [[일차논리,first-order_logic]]~[[술어논리,predicate_logic]] / [[이차논리,second-order_logic]]~? / ... etc.

 [[true_arithmetic]] - w
  '''true arithmetic'''
  WtEn:true_arithmetic x 2024-04
  [[WpEn:True_arithmetic]]
  // ... Google:true.arithmetic Bing:"true arithmetic"

 [[cardinal_arithmetic]] - w
  '''cardinal arithmetic'''
  WtEn:cardinal_arithmetic x 2024-04
  rel. [[cardinality]] [[cardinal_number]]
  https://planetmath.org/cardinalarithmetic - 보면 cardinal_addition cardinal_multiplication cardinal_exponentiation 도 정의해준다
  // ... Ggl:"cardinal arithmetic" Bing:"cardinal arithmetic"

 [[arithmetical_hierarchy]] - w rr
  '''arithmetical hierarchy'''
  [[WtEn:arithmetical_hierarchy]]
  [[WpKo:산술적_위계]]
  [[WpEn:Arithmetical_hierarchy]]
  Up: [[산술,arithmetic]] [[위계,hierarchy]]
  // ... Ggl:"arithmetical hierarchy" Bing:"arithmetical hierarchy" Naver:"arithmetical hierarchy"

 [[구간산술,interval_arithmetic]] - w (curr see [[구간,interval]])

 [[퍼지산술,fuzzy_arithmetic]] - w - [[퍼지논리,fuzzy_logic]]관련. 거기에 작성중.

 [[포인터산술,pointer_arithmetic]] - w - of [[포인터,pointer]], [[프로그래밍언어,programming_language]]

 [[transreal_arithmetic]] - w { [[WpEn:James_A._D._W._Anderson#Transreal_arithmetic]] }
  transreal arithmetic
  // ... Ggl:"transreal arithmetic"

 elementary_function_arithmetic
 elementary function arithmetic (EFA)
 AKA '''elementary arithmetic, exponential function arithmetic''' (we)
 즉 명칭만 보면 초등산술, [[초등함수,elementary_function]] 산술, [[지수함수,exponential_function]] 산술.
 초등산술 / 초등함수산술 / 지수함수산술
 https://ncatlab.org/nlab/show/elementary+function+arithmetic
 WpEn:Elementary_function_arithmetic
 WpJa:初等関数算術
 // ... Ggl:"elementary function arithmetic"

 type_arithmetic - w rr - [[타입,type]]
 WtEn:type_arithmetic x 2024-04
 https://wiki.haskell.org/Type_arithmetic
 // ... Ggl:"type arithmetic" Bing:"type arithmetic" Naver:"type arithmetic"

 [[포화산술,saturation_arithmetic]] - w rr 포화,saturation - 번역은 내 맘대로 한 직역임. chk ... [[포화,saturation]] curr see WpEn:Saturation_arithmetic
  rel [[디지털신호처리,digital_signal_processing,DSP]] [[부동소수점,floating_point]] ... 저쪽에서의 일종의 방법론 같은? 아주 대충: 모든 가능한 [[값,value]]의 [[범위,range]]를 제한하는 [[최소값,minimum_value]] [[최대값,maximum_value]]이 있으며, 연산 결과가 최대값보다 크면 정해진 최대값이 되어버리고, 연산 결과가 최소값보다 작은 경우도 마찬가지. 등등. \ (내 생각:) [[극값,extremum]]을 벗어날 때 최대한 정확하도록 exception등으로 따로 구현해 표현해주는게 가능은 하지만, 엄청난 cost가 발생하는데... 굳이 그럴 필요가 없는 경우, 그냥 그 extreme으로 만족해버리도록 처리하는(??)

<<TableOfContents>>

= Complementary arithmetic =
complementary arithmetic
complementary_arithmetic
[[보수,complement]]

[[Date(2023-11-08T02:34:25)]] 글쎄, src? Ggl:"complementary arithmetic" 해보니 Ggl:"complement arithmetic" 결과가 더 많이 나옴.. complementary_arithmetic

10's complement
2's complement
1's complement

= 법칙 =
[[교환법칙,commutativity]]
[[결합법칙,associativity]]
[[분배법칙,distributivity]]
멱등, 멱등성, 멱등법칙 - idempotence 에 작성중

표:
|| ||n. ||adj. ||
||[[교환법칙,commutativity]]||commutativity ||commutative ||
||[[결합법칙,associativity]]||'''associativity''' ||associative ||
||[[분배법칙,distributivity]]||distributivity ||distributive ||
||멱등법칙 ||idempotence, idempotency ||idempotent ||

||          ||[[덧셈,addition]] ||[[곱셈,multiplication]] ||
||결합 법칙 ||$a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)$ ||$abc=(ab)c=a(bc)$ ||
||교환 법칙 ||$a+b=b+a$ ||$ab=ba$ ||
||분배 법칙 ||<colspan="2">$a(b+c)=ab+ac$ ||

= 연산 =
[[연산,operation]]
단항연산과 이항연산

[[단항연산,unary_operation]]
 [[부정,negation]]
 부호반대? [[부호,sign]] 반대? 마이너스 minus
 complement - [[컴플리먼트,complement]]? 여집합, 여사건, 등등. (rel. [[보수,complement]])
 [[계승,factorial]]?
[[이항연산,binary_operation]]: 
 ||0 ||WtEn:successor#Noun ? ||predecessor ||
 ||1 ||[[덧셈,addition]], 가산 ||[[뺄셈,subtraction]], 감산 ||
 ||2 ||[[곱셈,multiplication]] ||[[나눗셈,division]] ||
 ||3 ||[[거듭제곱,멱,power]] ≒ [[지수,exponentiation]] ||[[거듭제곱근,nth_root]] or [[로그,log]] ||
 ||4 ||[[테트레이션,tetration]] ||[[WpEn:Super-root]] or [[WpEn:Super-logarithm]] ||
 ||5.. ||? ||? ||
 이 표에서 좌우는 서로 반대 관계. 逆. --anti. negative.-- inverse.
 상하 관계는 없을까?
  덧셈을 여러 번 하면 곱셈. 그걸 여러 번 하면 거듭제곱.
  하지만 뺄셈을 여러 번 한다고 나눗셈이 되지는 않음.
  https://oeis.org/wiki/Addition 의 Hierarchical list of operations pertaining to numbers 를 볼 것.
  ([[Date(2021-05-17T04:54:04)]]) see also [[WpKo:하이퍼_연산]] [[WpEn:Hyperoperation]]
  Rel. [[arithmetical_hierarchy]]
 계산 결과는
 ||[[합,sum]]     ||차, [[차이,difference]] ||
 ||[[곱,product]] ||[[몫,quotient]].....[[나머지,remainder]] ||
 ||? ||? ''(curr see [[지수,exponentiation]]) 여기서부터는 연산 이름과 그 결과의 이름을 나누지 않는 듯? chk'' ||
 ||? ||?? ||

radical
근호 = radical symbol, radical sign
 괄선(vinculum)이 없는 왼쪽 부분만 있는 것을 surd라고 하는건가? \surd $\surd$
 {{{ \sqrt{t}    }}} $\sqrt{t}$
 {{{ \sqrt[x]{y} }}} $\sqrt[x]{y}$
radical sign 밑의 숫자는 radicand(해당하는 한글 단어는 없는 것 같고 "근호(根號) 속의 수"가 사전에 나온다.)
curr. goto [[제곱근,square_root]]

합은 [[적분,integration]] 차는 [[미분,differentiation]]에 각각 유사성이 있었는데 뭐였더라?

사칙연산을 할 수 있는 [[집합,set]] - [[체,field]]??

= 차원과.. =
[[차원,dimension]]과의 관계.
물리 방정식 계산에서,
 덧셈/뺄셈은 차원이 같아야 계산 가능하다. 1kg+2mg은 되지만 1kg+2m는 안된다.
 곱셈/나눗셈은 차원이 달라도 계산 가능하다. 10m÷5s=2m/s이다.

= tmp; WpEn:Arithmetic 읽고. =
[[식,expression]]의 [[평가,evaluation]]{AKA 값매김}
infix/prefix/postfix notation - chk: 이건 [[연산자,operator]]가 [[식,expression]]에서 [[리터럴,literal]]과 어떻게 어울려지느냐에 대한 [[표기법,notation]]?
 [[Wiki:PolishNotation]] AKA Prefix notation
 [[Wiki:InfixNotation]]
 [[Wiki:PostfixNotation]] AKA RPN - [[포스,Forth]]
precedence rule
[[연산,operation]] and [[연산자,operator]]
 [[사칙연산]], [[이항연산,binary_operation]]
 [[덧셈,addition]] [[뺄셈,subtraction]] [[곱셈,multiplication]] [[나눗셈,division]]
 [[division_by_zero]]
 [[체,field]]

== 산술의 기본 정리 fundamental theorem of arithmetic FTA ==
fundamental_theorem_of_arithmetic
aka unique_factorization_theorem 
: 2이상의 모든 정수 has a unique [[소인수분해,prime_factorization]]
$n\in\mathbb{N},\,n>1$ 이라 하면 다음 식을 만족하는 $m\in\mathbb{N}$ 과 [[소수,prime_number]] $p_1,p_2,\cdots,p_m$ 이 존재한다.
 $n=p_1\cdot p_2 \cdot \cdots \cdot p_m$
특히 약수들의 순서를 고려하지 않는다면 이러한 표현방식은 오직 하나 뿐이다.

Twins:
[[WpKo:산술의_기본_정리]]
[[WpEn:Fundamental_theorem_of_arithmetic]]

(tmp) 주의: 대수학의기본정리 또한 FTA 이므로 주의.. 저건 fundamental_theorem_of_algebra - see [[대수학,algebra]]

Up: [[정리,theorem]]

= CS > PL 에서 실수 산술의 구현에 대해 - Exact real arithmetic =
exact_real_arithmetic
계산불가능한 실수는 물론 컴퓨터가 못 다루지만 ('symbolic하게, 근사적으로' 이런거 말고)
계산가능수computable_number인 [[실수,real_number]]를 ....
exact하게 다룰 수는 있다, 근데 복잡하다.
(지금 이것은 물론 [[부동소수점,floating_point]] 얘기가 아니다.)
일단은 haskell wiki 참조
https://wiki.haskell.org/Exact_real_arithmetic
https://ncatlab.org/nlab/show/exact+real+computer+arithmetic
Google:Exact+real+arithmetic
Bing:Exact+real+arithmetic

= arithmetic logic unit (ALU) =
[[프로세서,processor]] esp CPU안에 [[arithmetic_logic_unit]](ALU)
{
arithmetic logic unit
WtEn:arithmetic_logic_unit
}
에서 정수산술연산, 논리연산을 다룬다.
유사실수(? FPN, [[부동소수점수,floating-point_number]] : [[부동소수점,floating_point]] [[수,number]])의 산술연산을 다루는 FPU는 거의 항상 ALU와 분리되어 따로 있는 듯. // floating_point_unit OR floating-point_unit
 이유? Boolean value에 대한 arithmetic과 integer value에 대한 arithmetic은 비슷하고(사실상 같음) floating point arithmetic은 [[타입,type]]이 달라 전혀 다른 처리를 해야 해서?
 아님 역사적 이유로 unit이 갈라져 나오고 지금까지 이어진? (초기에는 FPU가 CPU에 없고 별개였던 (이른바 Ggl:coprocessor'''''') 적도 있다)

rel
[[컴퓨터,computer]]
[[컴퓨터구조,computer_architecture]]
[[계산,calculation]]

= addhere =

= addhere =

= addhere =

= addhere =


= TBW =
TBW:
[[대수학,algebra]] vs 산술(算術) 차이점은?
 각종 [[_algebra]], 각종 [[_arithmetic]] 이런것들은 왜 각각 algebra와 arithmetic 으로 이름붙었는지 등등

[[정수론,number_theory]]과의 차이점 and 유사성/겹치는것

tmp from WpKo:결정가능성
{
"결정가능한 1차논리([[일차논리,first-order_logic]]) 이론의 대표적 예시로 실폐체(real_closed_field - writing, curr see WpKo:실폐체 WpEn:Real_closed_field )의 이론이나 [[프레스버거_산술,Presburger_arithmetic]] 따위가 있으며, 결정 불가능한 이론의 예시로 산술의 기초적인 명제들을 증명할 수 있는 로빈슨 산술(Robinson_arithmetic)이나 군의 이론([[군론,group_theory]]? curr [[군,group]]) 따위가 있다."
}
rel. [[결정가능성,decidability]]? - w

----
https://www.pls-lab.org/en/Arithmetic
https://mathworld.wolfram.com/Arithmetic.html
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Arithmetic,_formal

Up: [[수학,math]]