삼각함수_합성,harmonic_addition

실수 $a,b$ 에 대해
$f(x)=a\sin x+b\cos x$
는 주기가 $2\pi$ 인 주기함수,periodic_function이다. 이 함수의 최대값을 구해보기로 한다. $M=\sqrt{a^2+b^2}$ 이라고 하면,
$a\cos x+b\sin x=M\left[\frac{a}{M}\cos x+\frac{b}{M}\sin x\right]$
이다.
$\left(\frac{a}{M}\right)^2+\left(\frac{b}{M}\right)^2=1$
이므로, 점 $\left(\frac{a}{M},\frac{b}{M}\right)$ 는 단위원 $x^2+y^2=1$ 위의 점이다. 따라서
$\cos\alpha=\frac{a}{M},\;\sin\alpha=\frac{b}{M}$
인 $\alpha$ 에 대하여
$\frac{a}{M}\cos x+\frac{b}{M}\sin x=\cos\alpha\cos x+\sin\alpha\sin x=\cos(x-\alpha)$
이 성립한다. 그러므로
$f(x)=a\cos x+b\sin x=M\cos(x-\alpha)$


Theorem. $M=\sqrt{a^2+b^2},\,\cos\alpha=\frac{a}{M},\,\sin\alpha=\frac{b}{M}$ 이면 다음 식이 성립한다.
$a\cos x+b\sin x=M\cos(x-\alpha)$

(snu pre edu)
$a\sin\theta+b\cos\theta\;(a\neq 0,\,b\neq 0)$ 를
$r\sin(\theta+\alpha)\;(r>0,\,0\le\alpha<2\pi)$ 꼴의 삼각함수로 나타내는 법

P(a,b)를 잡고, 동경 OP가 x축과 이루는 각의 크기가 α라면
$\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\;\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 이므로,
$a\sin\theta+b\cos\theta$
$=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sin\theta+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cos\theta\right)$
$=\sqrt{a^2+b^2}\left(\cos\alpha\sin\theta+\sin\alpha\cos\theta\right)$
$=\sqrt{a^2+b^2}\left(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha\right)$
$=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$

https://i.imgur.com/zXAv6ZQ.png

https://i.imgur.com/sQDHUgg.png


[https]imath의 설명에 의하면,
sin합성은 위 첫번째 그림과 동일하게 설명.
$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$
에서 a를 x좌표, b를 y좌표로 한 P(a,b)를 좌표평면에 그리고
$\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

cos합성은 위 두번째 그림과 좀 다르게 설명.
$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\beta)$
에서 a를 y좌표, b를 x좌표로 한 Q(b,a)를 좌표평면에 그리고, x축에서 $\bar{OQ}$ 까지의 양의 방향의 각 β를 생각함.
$\sin\beta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$\cos\beta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$
단, $\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\;\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$
영어 표현은 한국에 잘 알려져 있지 않은 듯 하다. harmonic은 단순조화진동,simple_harmonic_oscillation, 단조화운동,simple_harmonic_motion,SHM 등과 관련이 있는 듯.

한국어 '합성'은 거의 항상 합성,composition과 합성,synthesis으로 번역됨. 여기 삼각함수_합성,harmonic_addition이 예외.