삼중곱,triple_product

스칼라 삼중곱: A·(B×C)
벡터 삼중곱: A×(B×C)





1. 스칼라 삼중곱 scalar triple product

Volume of the octahedral(8면체) -> 뭘 보고 이렇게 적었지?

3중 스칼라 적(triple scalar product)평행육면체,parallelepiped의 부피와 같아서, 박스 적(box product)이라고도 한다.
(Thomas 번역판)

(a,b와 c를 모서리로 갖는 평행육면체의 체적(volume of the parallelepiped)과 같아서) 3중 스칼라곱은 때때로 $\vec{a},\vec{b}$$\vec{c}$상자곱(box product)이라고도 한다. (Zill 6e ko p424)


벡터 a, b, c의 scalar triple product
$\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}$
벡터 a, b, c에 의해 결정되는 parallelepiped의 부피,volume는 스칼라삼중곱의 magnitude이다:
$V=|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})|$
(Stewart)


$\vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=ABC\sin\theta\cos\phi$

$\vec{A}=(A_x,A_y,A_z),\,\vec{B}=(B_x,B_y,B_z),\,\vec{C}=(C_x,C_y,C_z)$ 이면
$\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})$
는 A, B, C를 세 변으로 하는 평행육면체의 체적이 되며, 그 값은 다음 행렬식,determinant으로 얻어짐
$\begin{vmatrix}A_x&A_y&A_z\\B_x&B_y&B_z\\C_x&C_y&C_z\end{vmatrix}$
내적은 교환법칙,commutativity이 성립하므로,
$(\vec{A}\times\vec{B})\cdot\vec{C}$ 도 마찬가지


$\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}\cdot(\vec{C}\times\vec{A})=\vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})$


$\vec{v_1}=(a_1,b_1,c_1)$
$\vec{v_2}=(a_2,b_2,c_2)$
$\vec{v_3}=(a_3,b_3,c_3)$
일 때,
$\vec{v_1}\cdot(\vec{v_2}\times\vec{v_3})=\det\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}$
$=\vec{v_2}\cdot(\vec{v_3}\times\vec{v_1})$
$=\vec{v_3}\cdot(\vec{v_1}\times\vec{v_2})$


$\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})=(\vec{A}\times\vec{B})\cdot\vec{C}$
(차동우) CHK


삼중곱이 부피이므로, 세 벡터가 한 평면,plane에 있다는 것을 보이려면 삼중곱이 0임을 보이면 된다.


$\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=0$$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 가 동일 평면 위에 있다. (coplanar)

(Zill 6e ko p425)


Twin:

WpKo:스칼라_삼중곱
// scalar triple product ... Ggl:scalar triple product

2. 벡터 삼중곱 vector triple product

$\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}) = \vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B})$

"bac-cab rule"

$\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\ne(\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}$ 임에 주의.

WpKo:벡터_삼중곱
// vector triple product ... Ggl:vector triple product

3. 이건 뭐더라? CLEANUP

다음 식은 다름
(A·B)C ≠ A(B·C)
그러나
(A·B)C = C(A·B)


AKA 삼중적