선형결합,linear_combination

AKA 일차결합

함수 $f_1,\cdots,f_n$
상수 $c_1,\cdots,c_n$ 일 때
linear combination of $f_1,\cdots,f_n:$
$\sum_{i=1}^{n}c_if_i=c_1f_1+c_2f_2+\cdots+c_nf_n$
Given vectors $\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_p}\in\mathbb{R}^n$ and given scalars $c_1,c_2,\cdots,c_p,$ the vector $\vec{y}$ defined by
$\vec{y}=c_1\vec{v_1}+\cdots+c_p\vec{v_p}$
is called a linear combination of $\vec{v_1},\cdots,\vec{v_p}$ with weights $c_1,\cdots,c_p.$

(Lay)
$\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_k}$ 가 $\mathbb{R}^n$ 의 벡터,vector이고, 계수 $c_1,c_2,\cdots,c_k$ 가 실수일 때,
$\vec{x}=c_1\vec{v_1}+c_2\vec{v_2}+\cdots+c_k\vec{v_k}$
인 형태를 $\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_k}$ 의 일차결합(linear combination)이라 한다.
Let $V$ be a vector space and let $S=\lbrace \vec{v_1},\cdots,\vec{v_k}\rbrace$ be a subset of $V.$
A vector
$a_1\vec{v_1}+\cdots+a_k\vec{v_k}$
for some $a_i\in\mathbb{R}$ is called a linear combination of $S.$

(정의) $x_1,\cdots,x_n$ 의 선형결합의 형태는
$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n$
이고 $a_1,\cdots,a_n\in\mathbb{R}$ 은 결합의 계수,coefficient들이다.
변수 $x_1,\cdots,x_n$ 의 선형방정식,linear_equation의 형태는
$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=d$
이고 $d\in\mathbb{R}$ 은 상수,constant이다.
n-튜플,tuple $(s_1,s_2,\cdots,s_n)\in\mathbb{R}^n$ 를 변수에 넣어(substitute) 성립하면, 즉
$a_1s_1+a_2s_2+\cdots+a_ns_n=d$
이면, 해,solution라고 하거나 '만족한다'고 한다.

(Hefferon 1.1 Def)

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tmp

$\vec{v}=\begin{bmatrix}a_1\\b_1\\c_1\end{bmatrix},\;\vec{w}=\begin{bmatrix}a_2\\b_2\\c_2\end{bmatrix}$
일 때
$\alpha\vec{v}+\beta\vec{w}=\alpha\begin{bmatrix}a_1\\b_1\\c_1\end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix}a_2\\b_2\\c_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha a_1+\beta a_2\\ \alpha b_1+\beta b_2\\ \alpha c_1+\beta c_2\end{bmatrix}$

이것은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.
$\begin{bmatrix}\vec{v}&\vec{w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\\c_1&c_2\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\\c_1&c_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha a_1+\beta a_2\\ \alpha b_1+\beta b_2\\ \alpha c_1+\beta c_2\end{bmatrix}=\alpha\begin{bmatrix}a_1\\b_1\\c_1\end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix}a_2\\b_2\\c_2\end{bmatrix}$

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tmp 2

QQQ 일차결합이 있으면 Google:quadratic.combination같은 것도 정의 가능? or meaningless? ( Google:이차결합은 2022-04-04 현재 화학 얘기만 줄줄..)

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tmp 3

평면,plane위 두 벡터,vector의 선형결합은 직선,line 혹은 평행사변형,parallelogram을 만드는 개념? chk

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결합(combination)