미분,derivative의 정의를 응용.

어떤 점,point 근처(근방,neighborhood??)에서만 의미가 있으며 멀어지면 의미가 없는? (∵ 오차,error가 커짐) - chk

어떤 함수,function(곡선,curve 등) 값이 접하는 점 근처에서는 접선,tangent_line과 매우 비슷하다는 것을 이용하는? chk

For $h$ sufficiently close to $0,$

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\sim f'(a)$

i.e.

$f(a+h)\sim f(a)+f'(a)h$

ex. $\sqrt{101}$ 의 근사값은?
sol. $\sqrt{101}=f(a+h)$

$f(x)=\sqrt{x}$
$a+h=101$

여기서 a는 함수에 넣었을 때 계산하기 편한 것으로, h는 위에서 말했듯 0에 가까운 것으로 정한다. 그리하여

$a=100,h=1$

따라서
$\sqrt{101}\sim f(100)+f'(100)\cdot 1$

$=10+\frac1{20}\cdot 1$
$=10.05$

이것은 참값 10.049875…와 비슷.

위에서 $a+h=x$ 라고 하면,
For $x$ sufficiently close to $a,$

$f(x)\sim f(a)+f'(a)(x-a)$

여기서 ~의 우측은 $x=a$ 에서 접선의 방정식. 이것을 선형근사(linear approximation)나 선형화(linearization)라고 하며 $\sim$ 대신 L과 등호를 써서 다음과 같이 나타냄.

$L(x) = f(a)+f'(a)(x-a)$

가정: $f$ 는 미분가능.

$y=f(x)$ 의 $x=a$ 에서의 접선,tangent_line은

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$

따라서 $x\approx a$ 일 때 $f(x)$ 는 다음과 비슷한 모양을 띠는데,

$\fbox{f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)}$

이것을 일차근사식이나 선형근사식이라고 부름.

또한

$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$

를 $x=a$ 에서 $f$ 의 선형화(linearization)라고 함.

Examples: Go to 선형화,linearization.

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(반복) f(x)와 L(x)의 차이 ¶

$f(x)\approx f'(a)(x-a)+f(a)$ ← 선형근사식
$L(x)=f'(a)(x-a)+f(a)$ ← 선형화,linearization

그리고 첫 식을 다시 쓰면

$f(x)-f(a)\approx f'(a)(x-a)$

이걸 다른 기호로(?) 쓰고 등호로 하면(??)

$dy=f'(x)dx$

이렇게 미분,differential을 이끌어 낼 수 있음.

(KU강우석 미적1 2주 2강 23m-)

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미분,differential을 쓴 표현 ¶

In the notation of differentials, the linear approximation

$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$

can be written as

$f(a+dx)\approx f(a)+dy$

$f(x)\approx f'(a)(x-a)+f(a)$

$f(a)$ 를 좌변으로 넘기면

$f(x)-f(a)\approx f'(a)(x-a)$

이걸 등호로 표현하면 ... 아마 위 식과 equivalent한 내용을 differential로 나타낸? 아랫줄은 differential의 정의임.

$dy=f'(x)dx$

$dy$ 는 함수값의 차이, $dx$ 는 $x$ 값의 차이.

강우석 2021-03-10 25m

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ㄷㄱㄱ ¶

// Week 13-1
The 1st order (linear) approximation of $f$ at $x_0$

$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0)$ where $x \approx x_0$

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multivariable case ¶

multivariable_calculus의 경우

지난 시간에 본 접평면,tangent_plane의 방정식은

$z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$

였고 이를 이용하여 선형근사에 대해 알아본다.

$z=f(x,y)$ 에 대하여
$(x,y)\approx(a,b)$ 이면
$f(x,y)\approx L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$

이고, 이를 $(a,b)$ 에서 $f$ 의 선형화,linearization라 한다.

$L(x,y)$ 의 명칭은

선형근사(함수)
일차근사(함수)
접평면근사(함수)

// from http://kocw.net/home/cview.do?cid=12d58d6ca6f944b8 차영준 5-2

2변수 함수의 선형근사식

$f$ 가 미분가능한 점 $(x_0,y_0)$ 에서 $f(x,y)$ 의 선형식(linearization)은 다음과 같다.

$L(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$

다음과 같은 근사식을 $(x_0,y_0)$ 에서 $f$ 의 표준선형근사식(standard linear approximation)이라 한다.

$f(x,y)\approx L(x,y)$

(Thomas 13e ko)

일반적으로 (접평면,tangent_plane 식으로부터) 점 $(a,b,f(a,b))$ 에서 이변수함수 $f$ 의 그래프에 대한 접평면의 방정식은 다음과 같다.

$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$

이 접평면의 방정식을 그래프로 갖는 선형함수는 다음과 같다.

$L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$

이 식을 $(a,b)$ 에서 $f$ 의 선형화,linearization라 하고,
다음과 같은 근사식을 $(a,b)$ 에서 $f$ 의 선형근사(linear appoximation) 또는 접평면근사,tangent_plane_approximation라고 한다.

$f(x,y)\approx f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$

(Stewart 8e ko p771)

(삼변수함수)
$w=f(x,y,z)$ 이면, 선형근사는

$f(x,y,z)\approx f(a,b,c)+f_x(a,b,c)(x-a) + f_y(a,b,c)(y-b) + f_z(a,b,c)(z-c)$

그리고 선형화 $L(x,y,z)$ 는 위 식의 우변.

(Stewart 8e ko p775)

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x=0 근방, 특히 물리에 응용 ¶

$f(x)=\sin(x)$ at a=0 is

$L(x)=x$

and so the linear approximation at 0 is

$\sin x\approx x$

아무튼 $x$ 가 0에 매우 가까울 때, (Stewart)

$\sin \theta\approx \theta$
$\cos \theta\approx 1$

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Etc ¶

기호 ≈ (U+2248)
정의에서 미분,derivative과 관련.
선형근사의 아이디어는 미분,differential의 용어(terminology)와 표기법(notation)으로 공식화되어 있음(formulated).
원문: The ideas behind 선형근사,linear_approximations are sometimes formulated in the terminology and notation of differentials.
{
$f$ 가 미분가능한 함수이고 $y=f(x)$ 이면 디퍼렌셜/미분 $dx$ 는 독립변수다. (어떤 실수 값도 가질 수 있다.)
그러면 디퍼렌셜/미분 (정확히는 전미분) $dy$ 는 $dx$ 에 대해 다음 식으로 정의된다.