#noindex
[[미분,derivative]]의 정의를 응용.

어떤 [[점,point]] 근처([[근방,neighborhood]]??)에서만 의미가 있으며 멀어지면 의미가 없는? (∵ [[오차,error]]가 커짐) - chk

어떤 [[함수,function]]([[곡선,curve]] 등) 값이 접하는 점 근처에서는 [[접선,tangent_line]]과 매우 비슷하다는 것을 이용하는? chk

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For $h$ sufficiently close to $0,$
 $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\sim f'(a)$
i.e.
 $f(a+h)\sim f(a)+f'(a)h$

ex. $\sqrt{101}$ 의 근사값은?
sol. $\sqrt{101}=f(a+h)$
 $f(x)=\sqrt{x}$
 $a+h=101$
여기서 a는 함수에 넣었을 때 계산하기 편한 것으로, h는 위에서 말했듯 0에 가까운 것으로 정한다. 그리하여
 $a=100,h=1$
따라서
$\sqrt{101}\sim f(100)+f'(100)\cdot 1$
 $=10+\frac1{20}\cdot 1$
 $=10.05$
이것은 참값 10.049875…와 비슷.

위에서 $a+h=x$ 라고 하면,
For $x$ sufficiently close to $a,$
 $f(x)\sim f(a)+f'(a)(x-a)$
여기서 ~의 우측은 $x=a$ 에서 접선의 방정식. 이것을 '''선형근사'''(linear approximation)나 '''선형화'''(linearization)라고 하며 $\sim$ 대신 L과 등호를 써서 다음과 같이 나타냄.
 $L(x) = f(a)+f'(a)(x-a)$

가정: $f$ 는 미분가능.

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$y=f(x)$ 의 $x=a$ 에서의 [[접선,tangent_line]]은
 $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
따라서 $x\approx a$ 일 때 $f(x)$ 는 다음과 비슷한 모양을 띠는데,
 $\fbox{f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)}$
이것을 '''일차근사'''식이나 '''선형근사'''식이라고 부름.

또한
 $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$
를 $x=a$ 에서 $f$ 의 선형화(linearization)라고 함.


Examples: Go to [[선형화,linearization]].


= (반복) f(x)와 L(x)의 차이 =
$f(x)\approx f'(a)(x-a)+f(a)$ ← '''선형근사'''식
$L(x)=f'(a)(x-a)+f(a)$ ← [[선형화,linearization]]

그리고 첫 식을 다시 쓰면
 $f(x)-f(a)\approx f'(a)(x-a)$
이걸 다른 기호로(?) 쓰고 등호로 하면(??)
 $dy=f'(x)dx$
이렇게 [[미분,differential]]을 이끌어 낼 수 있음.

(KU강우석 미적1 2주 2강 23m-)

= [[미분,differential]]을 쓴 표현 =
In the notation of [[미분,differential|differential]]s, the '''linear approximation'''
 $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$
can be written as
 $f(a+dx)\approx f(a)+dy$

----
 $f(x)\approx f'(a)(x-a)+f(a)$
$f(a)$ 를 좌변으로 넘기면
 $f(x)-f(a)\approx f'(a)(x-a)$
이걸 등호로 표현하면 ... ''아마 위 식과 equivalent한 내용을 differential로 나타낸? 아랫줄은 differential의 정의임.''
 $dy=f'(x)dx$ 

$dy$ 는 함수값의 차이, $dx$ 는 $x$ 값의 차이.

https://i.imgur.com/RyCYdwrl.png

강우석 2021-03-10 25m

= ㄷㄱㄱ =
// Week 13-1
The '''1st order (linear) approximation''' of $f$ at $x_0$
> $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0)$ where $x \approx x_0$

= multivariable case =
[[multivariable_calculus]]의 경우

지난 시간에 본 [[접평면,tangent_plane]]의 방정식은
 $z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$
였고 이를 이용하여 '''선형근사'''에 대해 알아본다.
 $z=f(x,y)$ 에 대하여
 $(x,y)\approx(a,b)$ 이면
 $f(x,y)\approx L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$
이고, 이를 $(a,b)$ 에서 $f$ 의 [[선형화,linearization]]라 한다.

$L(x,y)$ 의 명칭은
 * 선형근사(함수)
 * 일차근사(함수)
 * 접평면근사(함수)

// from http://kocw.net/home/cview.do?cid=12d58d6ca6f944b8 차영준 5-2

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2변수 함수의 선형근사식

$f$ 가 미분가능한 점 $(x_0,y_0)$ 에서 $f(x,y)$ 의 선형식(linearization)은 다음과 같다.
 $L(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$
다음과 같은 근사식을 $(x_0,y_0)$ 에서 $f$ 의 표준선형근사식(standard linear approximation)이라 한다.
 $f(x,y)\approx L(x,y)$

(Thomas 13e ko)

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일반적으로 ([[접평면,tangent_plane]] 식으로부터) 점 $(a,b,f(a,b))$ 에서 이변수함수 $f$ 의 그래프에 대한 접평면의 방정식은 다음과 같다.
 $z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$
이 접평면의 방정식을 그래프로 갖는 선형함수는 다음과 같다.
 $L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$
이 식을 $(a,b)$ 에서 $f$ 의 [[선형화,linearization]]라 하고,
다음과 같은 근사식을 $(a,b)$ 에서 $f$ 의 '''선형근사'''(linear appoximation) 또는 [[접평면근사,tangent_plane_approximation]]라고 한다.
 $f(x,y)\approx f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$

(Stewart 8e ko p771)

(삼변수함수)
$w=f(x,y,z)$ 이면, '''선형근사'''는
 $f(x,y,z)\approx f(a,b,c)+f_x(a,b,c)(x-a) + f_y(a,b,c)(y-b) + f_z(a,b,c)(z-c)$
그리고 선형화 $L(x,y,z)$ 는 위 식의 우변.

(Stewart 8e ko p775)

= x=0 근방, 특히 물리에 응용 =
$f(x)=\sin(x)$ at a=0 is
 $L(x)=x$
and so the '''linear approximation''' at 0 is
 $\sin x\approx x$

아무튼 $x$ 가 0에 매우 가까울 때, (Stewart)
 $\sin \theta\approx \theta$
 $\cos \theta\approx 1$

= Etc =
기호 ≈ (U+2248)
정의에서 [[미분,derivative]]과 관련.
선형근사의 아이디어는 [[미분,differential]]의 용어(terminology)와 표기법(notation)으로 공식화되어 있음(formulated).
원문: The ideas behind [[선형근사,linear_approximation]]s are sometimes formulated in the terminology and notation of differentials.
{
$f$ 가 미분가능한 함수이고 $y=f(x)$ 이면 '''디퍼렌셜/미분''' $dx$ 는 독립변수다. (어떤 실수 값도 가질 수 있다.)
그러면 '''디퍼렌셜/미분''' (정확히는 전미분) $dy$ 는 $dx$ 에 대해 다음 식으로 정의된다.
 $dy=f'(x)\,dx$
}

QQQ CHK
[[테일러_급수,Taylor_series]]의 n항까지의 합은 '''선형근사'''를 더 많은 항을 써서 더 정확히 근사하는 방법, 선형근사의 일반화, 인지?
테일러 급수 그 자체는 근사가 아니고 완벽히 정확한 것?
식 비교. 선형근사:
 $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$
테일러 급수의 n항까지의 합:
 $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
테일러 급수:
 $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots$
(위 둘은 근사식 - $\approx,$ 아래 하나는 등식 - $=$ )

관련:
[[MIT_Single_Variable_Calculus]] Lec 9, 13 참조
[[뉴턴_방법,Newton_method]]

----
[[WpKo:선형_근사]]
[[WpEn:Linear_approximation]]

https://mathinsight.org/linear_approximation_multivariable


Up: [[근사,approximation]] [[선형성,linearity]]

References
KU김기택