AKA '''일차변환, [[선형사상,linear_map]]'''

[[벡터공간,vector_space]]에서 벡터공간으로 가는 [[함수,function]].

다음 조건을 만족한다.
 * $T(x_1+x_2)=T(x_1)+T(x_2)$
 * $T(c\times x)=c\times T(x)$
{ i.e. [[변환,transformation]]이 [[선형성,linearity]]을 만족한다. } - chk

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Sub:
 [[직교변환,orthogonal_transformation]] - [[직교성,orthogonality]] 선형변환? chk
 [[bounded_linear_transformation]]

 // 이하 sub임. via BigBook p196-199
 영변환 zero_transformation $T(\vec{v})=\vec{0}$
 항등변환 identity_transformation $T(\vec{v})=\vec{v}$
 행렬변환 matrix_transformation $T_A(\vec{x})=A\vec{x}$
 [[정사영,orthogonal_projection]] - curr at [[사영,projection]]
 ''[[사영,projection]]도? chk''
 모든 선형변환은 행렬변환으로 나타낼 수 있다. p199

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<<tableofcontents>>
= 정의 =
[[벡터공간,vector_space]] $V,\,W$ 가 있고,
[[사상,map]] $L:V\to W$ 가 임의의 [[벡터,vector]] $v_1,v_2\in V$ 와 임의의 [[스칼라,scalar]] $k$ 에 대해 다음 두 조건을 만족하면 $L$ 을 $V$ 에서 $W$ 로의 '''선형변환'''이라고 한다.
 $\bullet\; L(v_1+v_2)=L(v_1)+L(v_2)$
 $\bullet\; L(kv_1)=kL(v_1)$

특히, V에서 V자신으로의 선형변환 $L:V\to V$ 를 V위의 선형연산자(linear operator)라고 한다. [[선형연산자,linear_operator]]

= 성질 =
V, W가 벡터공간이고 L:V→W을 선형변환이라 하면 다음이 성립한다.
 (1) L(0)=0
 (2) ^^∀^^v∈V, L(-v)=-L(v)
 (3) ^^∀^^v, w∈V, L(v-w)=L(v)-L(w)

= 일차변환의 예 =
||           ||$\mathbf{e}_1'$ ||$\mathbf{e}_2'$ ||
||x방향 확대 ||$\binom{2}{0}$ ||$\binom{0}{1}$ ||
||y방향 확대 ||$\binom{1}{0}$ ||$\binom{0}{2}$ ||
||x방향 전단 ||$\binom{1}{0}$ ||$\binom{1}{1}$ ||
||y방향 전단 ||$\binom{1}{1}$ ||$\binom{0}{1}$ ||
||x축 반전   ||$\binom{-1}{0}$ ||$\binom{0}{1}$ ||
||y축 반전   ||$\binom{1}{0}$ ||$\binom{0}{-1}$ ||
||원점 중심으로 45° 회전 ||$\binom{ \frac{1}{\sqrt{2}} }{ \frac{1}{\sqrt{2}} }$ ||$\binom{ -\frac{1}{\sqrt{2}} }{ \frac{1}{\sqrt{2}} }$ ||
||임의의 각도 θ만큼 회전 ||$\binom{\cos\theta}{\sin\theta}$ ||$\binom{-\sin\theta}{\cos\theta}$ ||
||평면 전체를 직선으로 압축 ||$\binom{1}{1}$ ||$\binom{1}{1}$ ||
(나카이 에츠지)

= Invertible Linear Transformations =
A '''linear transformation''' $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ is said to be '''invertible''' if there exists a function $S:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ such that
 $S(T(\vec{x}))=\vec{x},\,T(S(\vec{x}))=\vec{x}\;\;\forall\vec{x}\in\mathbb{R}^n$

이 때 S는 inverse of T, 즉 T^^-1^^이다.

(Lay, 2.3)

= (TBW) 선형변환과 행렬의 관계 =
from namuwiki/행렬
[[선형대수학의_기본정리]]에 따르면, 모든 '''선형변환'''은 [[행렬,matrix]]로 표현 가능하고 그 역도 성립한다. [[행렬,matrix#s-17]] ("행렬과 일차변환")에 내용 있음.

See also [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405277&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 일차변환]]
{
TBW:
일차변환과 [[행렬,matrix]]의 관계
일차변환의 [[합성,composition]]과 행렬곱셈matrix_multiplication의 관계
}

Transformations and Matrices : 2D transformation (interactive app, 행렬 숫자를 바꿔가면서 어떻게 되는지 볼 수 있음)
https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-transform.html

[[행렬변환,matrix_transformation]] - sub으로?
[[변환행렬,transformation_matrix]] - 나중에 이 페이지의 sub?

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선형변환을 행렬로 표현하는 것에 대해.

이 section의 적당한 pagename은 [[행렬표현,matrix_representation]] Srch:matrix_representation 일까?

Google:선형변환+행렬표현
Google:linear+transformation+matrix+representation

rel [[표현,representation]]

= tmp links ko =
https://junklee.tistory.com/78

네 근본적 [[부분공간,subspace]]
https://angeloyeo.github.io/2020/11/17/four_fundamental_subspaces.html
{
선형변환의
입력([[정의역,domain]])은 [[행공간,row_space]]과 [[영공간,null_space]]의 합집합.
출력([[치역,range]])은 [[열공간,column_space]].
} CHK

https://m.blog.naver.com/spin898/221139853857

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[[아핀변환,affine_transformation]] 과 관계?

chk: 선형변환이 아닌 변환은 모두 비선형변환?


관련:
[[선형성,linearity]]
[[사영,projection]] and 정사영(orthogonal projection)
영변환(zero transformation)
항등변환(identity transformation)
행렬변환(matrix transformation)

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Bmks ko
https://freshrimpsushi.github.io/posts/linear-transformations/

tmp bmks ko
https://chocobear.tistory.com/113 선형변환
https://chocobear.tistory.com/115 (del ok) 선형변환의 성질 중 하나를 알아봄 - with rank-nullity_theorem(= dimension_theorem)
https://chocobear.tistory.com/116 선형변환의 행렬 표현 - [[matrix_representation]]. [[순서기저,ordered_basis]] 정의한 다음.

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Up:
 [[선형성,linearity]]
 [[변환,transformation]]
 [[선형대수,linear_algebra]]
up?
 [[사상,map]]
 [[함수,function]]

Ref.
 정의: [[http://matrix.skku.ac.kr/sglee/linear/ocu/20701.html]]
 성질: [[http://matrix.skku.ac.kr/sglee/linear/ocu/20702.html]]

Twins
https://mathworld.wolfram.com/LinearTransformation.html
https://everything2.com/title/linear+transformation
https://planetmath.org/lineartransformation
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Linear_Transformation
 한 [[,module]](모듈/가군)에서 다른 module로 가는 [[준동형사상,homomorphism]].
[[WpEn:Linear_map]]
[[WpKo:선형_변환]]
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Linear_operator - ''linear transformation, linear map''