See also [[미분,differential]] ''(originally [[RR:미분,differential]])''

[[선형근사,linear_approximation]]와... mklink

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$x=a$ 에서 $f$ 의 '''선형화(linearization)''' 또는 '''선형근사함수(linearization)'''는 다음과 같이 나타낸다.
 $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$

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[[근사,approximation]] 방법.
아이디어: [[곡선,curve]] 그래프는 확대할수록 점점 [[직선,line]]에 가까워진다.

$f$ 가 $x=a$ 에서 미분가능할 때, 근사함수
 $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$
를 $a$ 에서 $f$ 의 '''선형화함수(linearization)'''라고 한다.
함수 $f$ 를 $L$ 로 근사시키는 식
 $f(x)\approx L(x)$
를 $a$ 에서 $f$ 의 '''표준선형근사식(standard linear approximation)'''이라고 한다.
점 $x=a$ 를 근사의 [[중심,center]]이라고 한다.

(Thomas 13e ko 2.11 p141)

= 설명 =
 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ 이므로
$x=a$ 에서의 접선 (i.e. $x=a$ 에서 $y=f(x)$ 에 대한 접선)은 다음과 같고,
 $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
여기서 $y=L(x)$ 로 둔
 $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$
를 $x=a$ 에서 $f$ 의 '''선형화,linearization'''라고 함.

= Ex =
Find $L(x)$ of the fn
 $f(x)=\sqrt{x+3}$ at $a=1$
and use it to approximate $\sqrt{3.98}$ and $\sqrt{4.05}$

Sol.
 $f(1)=2$
 $f'(x)=\frac1{2\sqrt{x+3}}$
 $f'(1)=1/4$

 $L(x)=2+\frac14(x-1)=\frac14x+\frac74$

 $f(0.98)=\sqrt{3.98}\approx\frac14(0.98)+\frac74=1.995$
 $f(1.05)=\sqrt{4.05}\approx\frac14(1.05)+\frac74=2.0125$

= Ex =
For what values of $x$ is the linear approximation
 $\sqrt{x+3}\approx\frac74+\frac{x}4$
accurate to within 0.5?

Sol.
 $\left|\sqrt{x+3}-\left(\frac74+\frac{x}4\right)\right|<0.5$
그래프에서 보면 절대값 안이 항상 음수라 한다.
 $\frac74+\frac{x}4<0.5+\sqrt{x+3}$
 $\frac54+\frac{x}4<\sqrt{x+3}$
 $x+5<4\sqrt{x+3}$
양변을 제곱하면
 $x^2-6x-23<0$
근의 공식을 써서 구간을 구하면
 $-2.66<x<8.66$

이상 Ex의 source: http://www.kocw.net/home/cview.do?cid=293242 3.11 선형 근사값과 미분

= Ex. 1 =
이거 이상한 것 같은데.. 잘못 적었나? chk

Q:
$a=1$ 에서 $f(x)=\sqrt{x+3}$ 의 선형화를 구하고 이를 이용하여 $\sqrt{4.01}$ 의 근삿값을 구하라.

Sol.
$f'(x)=\frac12(x+3)^{-\frac12} = \frac1{2\sqrt{x+3}}$
$f'(1)=\frac14$
선형화 $L(x)=f(1)+f'(1)(x-1)=2+\frac14(x-1)=\frac14x+\frac74$
$x\approx 1$ 일 때
$\sqrt{4.01}=f(1.01)\approx L(1.01)=2.0025$

= Ex. =
Find the linearization of the fn $f(x)=\sqrt{x+3}$ at $a=1$ and use it to approximate the numbers $\sqrt{3.98}\textrm{ and }\sqrt{4.05}.$ Are these approximations overestimates or underestimates? (더 크게 근사했는가 작게 근사했는가)

sol.
The derivative of
 $f(x)=(x+3)^{1/2}$
is
 $f'(x)=\frac12(x+3)^{-1/2}$
  $=\frac1{2\sqrt{x+3}}$
and so we have $f(1)=2\textrm{ and }f'(1)=\frac14.$
그리고 L을 구하면, 선형화(linearization)는,
 $L(x)=f(1)+f'(1)(x-1)$
  $=2+\frac14(x-1)$
  $=\frac74+\frac{x}4$
그래서, approximation은,
 $\sqrt{x+3}\approx \frac74+\frac{x}4$
In particular,
 $\sqrt{3.98}\approx\frac74+\frac{0.98}4=1.995$
 $\sqrt{4.05}\approx\frac74+\frac{1.05}4=2.0125$

src: KU김기택 강의

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