정의역이 자연수인 함수,function.

수열 $f$ 는 자연수,natural_number 집합으로부터 임의의 집합 $X$ 로 가는 함수 (이것은 항상 수는 아니므로 열이 더 어울릴 수도 있는)

$f:\mathbb{N}\to X$

또는 실수의 집합으로 가는 함수 (이 경우에는 분명 수열)

$f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$

정의역,domain이 whole numbers {0, 1, 2, 3, …}일 때 함수값의 집합(순서집합,ordered_set??) {f(0), f(1), f(2), f(3), …}.
유한수열 $\lbrace f_0,f_1,\cdots,f_n\rbrace$ 표기: $\lbrace f_k\rbrace_{k=0}^{n},$ 무한수열 표기: $\lbrace f_k\rbrace_{k=0}^{\infty},$ 문맥을 보아 확실하면 이렇게 줄임: $\lbrace f_k\rbrace$
(Modern Engineering Math 5e James)

순서,order가 중요.

항 term - 항,term
일반항 general term - 일반항,general_term : $n$ 번째 항 $a_n$
An infinite list of numbers $s_1,s_2,\cdots,s_n,\cdots$

$s_1$ : the first term
$s_2$ : the second term
$s_n$ : the general term

함수이지만 표기법,notation으로 subscript notation을 많이 씀.

$s_n$ (subscript)
$s(n)$ (function notation)
$\{s_n\}$ ?

Related, Topics:

수열의 항목을 덧셈하면(??) 급수,series
점화식,recurrence_relation
생성함수,generating_function

Sub:

정수열,integer_sequence - 정수,integer 값 수열

$f:\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$
온라인 정수 수열 사전 OEIS https://oeis.org/
http://oeis.org/wiki/Integer_sequences
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Integer_Sequence

복소수열 - 복소수,complex_number 값 수열 \ https://proofwiki.org/wiki/Definition:Complex_Sequence
... (이런 값,value의 타입,type에 따른(i.e. 공역,codomain에 따른) 분류 가능)

등차수열,arithmetic_sequence
기하수열,geometric_sequence (= 등비수열)
조화수열,harmonic_sequence
피보나치_수열,Fibonacci_sequence
콜라츠_수열,Collatz_sequence

Collatz sequence
Up: 정수열, 자연수열?
이 수열의 수들을 우박수,hailstone_number라 한다.

hailstone_number
Rel: 콜라츠_추측,Collatz_conjecture

원 수열에서 일부를 삭제한? 순서,order는 바뀌지 않음.

프로그래밍의 문제들
최장 증가 부분수열 (longest increasing subsequence, LIS) 알고리즘/문제 - dynamic_programming이 해법.

최장 증가 부분 수열 // longest_increasing_subsequence
최장 공통 부분수열 longest_common_subsequence

longest common subsequence

Related: 볼차노-바이어슈트라스_정리,Bolzano-Weierstrass_theorem(curr see 해석학,analysis)는 부분수열 개념이 있어야 서술가능
Twins:

부분수열

부분_수열

Subsequence
AKA 부분열

유한수열,finite_sequence

https://oeis.org/wiki/Finite_sequences

무한수열,infinite_sequence

https://oeis.org/wiki/Infinite_sequences

코시_수열,Cauchy_sequence - chk backlink. 실수,real_number의 완비성,completeness 관련?
소수열

이건 뜻이 ... 1. 소수를 모두 나열한 2. 소수 중 일부를 나열한 ..그럼 부분수열,subsequence?? 이렇게 둘? chk
아래 Euclid-Mullin이 여기 속함

Beatty_sequence

Beatty sequence
rel. Sturmian_word { Sturmian word

Sturmian_word ... "Sturmian word"

Sturmian word

Sturmian word } // Sturmian word

Beatty_sequence

ビーティ数列
...

Beatty sequence

Beatty 수열

cyclic_sequence

cyclic sequence
"cyclic sequence"

cyclic sequence
Up: 순환,cycle?

de_Bruijn_sequence

https://www.secmem.org/blog/2020/02/19/de-Bruijn-수열/ (deadlink)

de_Bruijn_sequence

de Bruijn 수열

de Bruijn 수열
Up: cyclic_sequence

polynomial_sequence 다항식열?

Sheffer_sequence 셰퍼_다항식열? 셰퍼_열 ?

https://mathworld.wolfram.com/ShefferSequence.html

Sheffer_sequence
...

Sheffer Sequence

Appell_sequence - 이것들 writing

// 이하 '수'의 sequence가 아니라 범주론,category_theory(범주,category theory), 추상대수,abstract_algebra의 대상,object의 sequence 얘기
exact_sequence

exact sequence
https://everything2.com/title/exact sequence
https://mathworld.wolfram.com/ExactSequence.html

Exact_sequence

완전열

short_exact_sequence

short exact sequence

short_exact_sequence
https://mathworld.wolfram.com/ShortExactSequence.html
https://everything2.com/title/short exact sequence

짧은_완전열

split_exact_sequence

split exact sequence

split_exact_sequence (x 2023-12)
https://mathworld.wolfram.com/SplitExactSequence.html

분할_완전열
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Split_sequence — split exact sequence, split short exact sequence
https://ncatlab.org/nlab/show/split exact sequence

long_exact_sequence

long exact sequence

long_exact_sequence
https://mathworld.wolfram.com/LongExactSequence.html

1. 너무 당연한 Thm.
2. 제목에 대해
3. 수열의 극한의 정의, 수열의 수렴의 뜻, 수열의 발산의 뜻
4. See also
5. 수열의 합
6. 계차수열
7. 증가수열, 감소수열, 단조수열
8. 유계, 유계수열, bounded_sequence
9. 단조수렴정리
10. (고딩) 풍산자에서. 점화식에서 수열의 일반항 구하기 인가?
11. 유클리드-뮬린(Mullin) 수열 Euclid-Mullin sequence
12. Sites
13. Bmks
14. Etc, misc

[edit]

1. 너무 당연한 Thm. ¶

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 이 수렴하면 $\lim_{n\to\infty}a_n=0$

∵
$a_n=S_n-S_{n-1}$
$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}(S_n-S_{n-1})=\lim_{n\to\infty}S_n-\lim_{n\to\infty}S_{n-1}=0$

rel.

term_test, curr at 수렴,convergence#s-1

[edit]

2. 제목에 대해 ¶

사실 '수열'에 정확히 해당되는 영어 표현은 sequence of numbers이다. (열=列=sequence)

그러고보니 '문자열' - 'string'에도 비슷한 번역 문제가 있다. 한국어 '수열'에는 수,number가, '문자열'에는 문자,character가 명시되지만, 영단어 sequence와 string은 '수'와 '문자'에만 쓰일 수 있는 것이 아니다.

한국어 번역과는 달리 각 항목이 꼭 수,number일 필요는 없다. '열'이나 '시퀀스'로 별도 페이지 만들고 그것의 sub가 여기(수열)로 처리될지도?

순서가 있는 1D 무언가는 모두 sequence이므로 나중에 별도 페이지가 필요하다.

(delme) https://everything2.com/title/sequence

nucleotide_sequence
amino_acid_sequence 등등.

QQQ sequence와 상당히 비슷한 string의 차이/비교/... 스트링,string?

[edit]

3. 수열의 극한의 정의, 수열의 수렴의 뜻, 수열의 발산의 뜻 ¶

( $n$ 이 무한으로 갈 때, )

수열이 특정한 값 $L$ 로 수렴한다는 것 $\left( \lim_{n\to\infty}a_n=L \right)$ 은,
모든 양의 실수 $\epsilon$ 에 대해, 그에 대응하는 다음과 같은 정수 $N$ 이 존재한다는 것.
if $n>N$ then $|a_n-L|<\epsilon$

i.e.

$\lim_{n\to\infty}a_n=L$ ...(" $a_n$ 이 $L$ 로 수렴한다. ")

⇔

$\forall\varepsilon>0, \exists N>0$ such that $n>N\Rightarrow|a_n-L|<\varepsilon$

$\lim_{n\to\infty}a_n$ 이 존재할 때, $\{a_n\}$ 은 수렴한다고 한다.
수렴하지 않는 경우엔 발산한다고 한다.

수열이 무한대로 발산한다는 것 $\left( \lim_{n\to\infty}a_n=\infty \right)$ 은,
모든 양의 정수 $M$ 에 대해, 다음과 같은 정수 $N$ 이 존재한다는 것.
if $n>N$ then $a_n>M$

i.e.

$\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$

⇔

$\forall M>0,\,\exists N>0$ such that $n>N \Rightarrow a_n>M$

4. See also ¶

수열을 표현하기 위해 점화 관계를 쓸 수 있다.
점화식,recurrence_relation

생성함수,generating_function

Related, MKLINK:
목록,list or 리스트,list - 자료구조,data_structure관점에서 이것과 sequence가 매우 비슷한데...
열거,enumeration

[edit]

5. 수열의 합 ¶

덧셈,addition의 합 부분 참조

너무 유명한
$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2$
같은 건 생략했고
무한이 나오면...

$\sum_{k=0}^{\infty}x^k=\frac1{1-x},\quad\quad|x|<1$
이게 급수,series?

$\sum_{k=1}^{\infty}kx^{k-1}=\frac1{(1-x)^2},\quad\quad|x|<1$

[edit]

6. 계차수열 ¶

수열 $\{a_n\}$ 이 있을 때, $b_n=a_{n+1}-a_n$ 으로 정의되는 수열 $\{b_n\}$ 을 $\{a_n\}$ 의 계차수열이라 함. 이 때의 성질:

$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\;\;(n\ge2)$

[edit]

7. 증가수열, 감소수열, 단조수열 ¶

mv to 단조수열,monotone_sequence or 단조수열,monotonic_sequence later

수열 $\{a_n\}$ 에 대해, $\forall n,$

$a_n\le a_{n+1}$ 이면 증가수열, 특히
$a_n<a_{n+1}$ 이면 순증가수열,
$a_n\ge a_{n+1}$ 이면 감소수열, 특히
$a_n>a_{n+1}$ 이면 순감소수열이라고 한다.

위 네 가지 경우를 단조수열(monotone sequence)이라고 한다.

단조증가수열 monotone increasing sequence
단조감소수열 monotone decreasing sequence
단조수열 monotone sequence : 단조증가수열과 단조감소수열을 합해 단조수열이라 부름

단조성,monotonicity
단조수렴정리,monotone_convergence_theorem

//이하 네 페이지는 만들수도 안 만들수도
증가수열,increasing_sequence
감소수열,decreasing_sequence
{
감소수열인지 확인하는 방법?

$1.\; a_n-a_{n+1} \ge 0?$
$2.\; \frac{a_n}{a_{n+1}} \ge 1?$ (양항수열일 때)
$3.\; f(n)=a_n,\; f'(x)\le 0?$ (미분 사용)

(강우석 2021-05-10 20m)

https://oeis.org/wiki/Decreasing_sequences
}
단조증가수열
단조감소수열..이건 monotone/monotonic 중에 tbd

[edit]

8. 유계, 유계수열, bounded_sequence ¶

유계수열,bounded_sequence

(1) $\forall n,\,a_n\le M$ 을 만족하는 실수 $M$ 이 존재하면 수열 $\{a_n\}$ 을 위로 유계(bounded above)라고 한다.
(2) $\forall n,\,M\le a_n$ 을 만족하는 실수 $M$ 이 존재하면 수열 $\{a_n\}$ 을 아래로 유계(bounded below)라고 한다.
(3) $\forall n,\,|a_n|\le M$ 을 만족하는 양수 $M$ 이 존재하면 수열 $\{a_n\}$ 을 유계수열(bounded sequence)이라고 한다.

See 유계,bounded, 경계,bound

정의:
모든 $n$ 에 대하여 $a_n\le M$ 을 만족하는 실수 $M$ 이 존재하면 수열 $\{a_n\}$ 은 위로 유계라 한다.
모든 $n$ 에 대하여 $a_n\ge m$ 을 만족하는 실수 $m$ 이 존재하면 수열 $\{a_n\}$ 은 아래로 유계라 한다.
위로 유계이고 동시에 아래로 유계인 수열을 유계라 한다. (유계수열)
(차영준)

Ex.
$a_n=n$ : 아래로 유계임, 위로는 유계 아님
$a_n=\frac{n}{n+1}$ : 유계임 ∵ $\forall n,\,0<a_n<1$

유계수열이라고 해서 수렴,convergence하지는 않는다.
Ex. $a_n=(-1)^n$ 은 $-1\le a_n\le 1$ 이지만 divergent.

그런데,
유계수열이면서 단조수열,monotone_sequence이면 수렴한다.
See 단조수렴정리,monotone_convergence_theorem

[edit]

9. 단조수렴정리 ¶

아래로 유계인 감소수열과 위로 유계인 증가수열은 수렴한다.

checkout 적분,integration#s-6 (적분의 성질)

page made: 단조수렴정리,monotone_convergence_theorem

[edit]

10. (고딩) 풍산자에서. 점화식에서 수열의 일반항 구하기 인가? ¶

$Aa_{n+2}+Ba_{n+1}+Ca_n=0$ 꼴 문제는 $B=-(A+C)$ 를 만족하는 문제만 제시됨. $B=-A-C$
중간항을 쪼개면

$Aa_{n+2}-Aa_{n+1}-Ca_{n+1}+Ca_n=0$

따라서, 항상

$a_{n+2}-a_{n+1}=r(a_{n+1}-a_n)$

꼴로 변형하는 것이 가능.

만약 위 $B=-(A+C)$ 를 만족하지 않으면? ex. $a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0$ 의 일반항은? 고난도. 출제가능성 희박. 하지만 방법 있음

$Aa_{n+2}+Ba_{n+1}+Ca_n=0$ 꼴 점화식의 일반 해법
1단계

$Ax^2+Bx+C=0$ 의 두 근을 구한다. $x=\alpha,\beta$ 라 하자.
(1) 중근이 아니면 $a_n=p\alpha^n+q\beta^n$ 으로 둔다.
(2) 중근이면 $a_n=p\alpha^n+qn\alpha^n$ 으로 둔다.

2단계

초기 조건을 이용해 $p,q$ 를 구한다.

중근인 경우는 고난도 중 고난도이므로 결국 $a_n=p\alpha^n+q\beta^n$ 으로 둔다고 보면 된다.

[edit]

11. 유클리드-뮬린(Mullin) 수열 Euclid-Mullin sequence ¶

소수,prime_number열. Euclid의 소수가 무한하다는 증명에 착안한 소수열 (?) - chk
from [https]

수학산책: 소수는 왜 무한한가
정의:

$p_1=2,$
$p_{n+1} = p_1p_2\cdots p_n+1$ 의 가장 작은 소인수

Euclid–Mullin_sequence
https://mathworld.wolfram.com/Euclid-MullinSequence.html

[edit]

12. Sites ¶

OEIS
https://oeis.org/
https://everything2.com/title/The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

[edit]

13. Bmks ¶

[edit]

14. Etc, misc ¶

시퀀스

영단어 sequence에는 순서라는 뜻도 있음. rel. 순서,order

QQQ 단어가 비슷한 시퀀트,sequent와 관계가?

혹시 저건 sequence가 아닌 결과,consequent 에서 온건가?

https://everything2.com/title/sequence

영단어로는 나타나지 않지만, 한국어 어근 -열 을 공유하는 다른것들. 순서,order가 있고 1차원으로 '나열'된 모든 것에 -열 이름이 붙을 수 있으므로 나중에 rechk
순열,permutation
문자열,string
시계열,time_series (저 series는 급수,series와...?)

생물학,biology에선

http://biohackers.net/wiki/BioSequence

biosequence

Twins:
http://foldoc.org/sequence
https://mathworld.wolfram.com/Sequence.html
https://planetmath.org/sequence
https://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Sequence

수열

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Sequence

Up:
수학,math