#noindex 정의역이 자연수인 [[함수,function]]. '''수열''' $f$ 는 [[자연수,natural_number]] 집합으로부터 임의의 집합 $X$ 로 가는 함수 ''(이것은 항상 수는 아니므로 '''열'''이 더 어울릴 수도 있는)'' $f:\mathbb{N}\to X$ 또는 실수의 집합으로 가는 함수 ''(이 경우에는 분명 '''수열''')'' $f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ [[정의역,domain]]이 whole numbers {0, 1, 2, 3, …}일 때 함수값의 집합([[순서집합,ordered_set]]??) {f(0), f(1), f(2), f(3), …}. 유한수열 $\lbrace f_0,f_1,\cdots,f_n\rbrace$ 표기: $\lbrace f_k\rbrace_{k=0}^{n},$ 무한수열 표기: $\lbrace f_k\rbrace_{k=0}^{\infty},$ 문맥을 보아 확실하면 이렇게 줄임: $\lbrace f_k\rbrace$ (Modern Engineering Math 5e James) [[순서,order]]가 중요. 항 term - [[항,term]] 일반항 general term - [[일반항,general_term]] : $n$ 번째 항 $a_n$ An infinite list of numbers $s_1,s_2,\cdots,s_n,\cdots$ $s_1$ : the first term $s_2$ : the second term $s_n$ : the general term 함수이지만 [[표기법,notation]]으로 subscript notation을 많이 씀. $s_n$ (subscript) $s(n)$ (function notation) $\{s_n\}$ ? Related, Topics: 수열의 항목을 덧셈하면(??) [[급수,series]] [[점화식,recurrence_relation]] [[생성함수,generating_function]] Sub: [[정수열,integer_sequence]] - [[정수,integer]] 값 수열 $f:\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$ 온라인 정수 수열 사전 OEIS https://oeis.org/ http://oeis.org/wiki/Integer_sequences https://proofwiki.org/wiki/Definition:Integer_Sequence [[복소수열]] - [[복소수,complex_number]] 값 수열 \ https://proofwiki.org/wiki/Definition:Complex_Sequence ... (이런 [[값,value]]의 [[타입,type]]에 따른(i.e. [[공역,codomain]]에 따른) 분류 가능) [[등차수열,arithmetic_sequence]] [[기하수열,geometric_sequence]] (= 등비수열) [[조화수열,harmonic_sequence]] [[피보나치_수열,Fibonacci_sequence]] [[콜라츠_수열,Collatz_sequence]] Collatz sequence Up: 정수열, 자연수열? 이 수열의 수들을 [[우박수,hailstone_number]]라 한다. WtEn:hailstone_number Rel: [[콜라츠_추측,Collatz_conjecture]] WtEn:Collatz_conjecture WpKo:콜라츠_추측 WpEn:Collatz_conjecture [[부분수열,subsequence]] 원 수열에서 일부를 삭제한? [[순서,order]]는 바뀌지 않음. 프로그래밍의 문제들 최장 증가 부분수열 (longest increasing subsequence, LIS) 알고리즘/문제 - [[dynamic_programming]]이 해법. Google:최장+증가+부분+수열 // longest_increasing_subsequence 최장 공통 부분수열 longest_common_subsequence longest common subsequence Ggl:"longest common subsequence" Related: [[볼차노-바이어슈트라스_정리,Bolzano-Weierstrass_theorem]](curr see [[해석학,analysis]])는 부분수열 개념이 있어야 서술가능 Twins: [[Libre:부분수열]] [[WpKo:부분_수열]] [[WpEn:Subsequence]] AKA '''부분열''' [[유한수열,finite_sequence]] https://oeis.org/wiki/Finite_sequences [[무한수열,infinite_sequence]] https://oeis.org/wiki/Infinite_sequences [[코시_수열,Cauchy_sequence]] - chk backlink. [[실수,real_number]]의 [[완비성,completeness]] 관련? 소수열 이건 뜻이 ... 1. 소수를 모두 나열한 2. 소수 중 일부를 나열한 ..그럼 [[부분수열,subsequence]]?? 이렇게 둘? chk 아래 Euclid-Mullin이 여기 속함 [[Beatty_sequence]] Beatty sequence rel. [[Sturmian_word]] { Sturmian word WpEn:Sturmian_word ... "Sturmian word" Google:"Sturmian word" Naver:"Sturmian word" } // Sturmian word WpEn:Beatty_sequence WpJa:ビーティ数列 ... Naver:"Beatty sequence" Google:"Beatty sequence" Ggl:"Beatty 수열" [[cyclic_sequence]] cyclic sequence "cyclic sequence" Ggl:"cyclic sequence" Up: [[순환,cycle]]? [[de_Bruijn_sequence]] https://www.secmem.org/blog/2020/02/19/de-Bruijn-수열/ (deadlink) WtEn:de_Bruijn_sequence WpEn:de_Bruijn_sequence Google:de+Bruijn+수열 Naver:de+Bruijn+수열 Up: [[cyclic_sequence]] [[polynomial_sequence]] 다항식열? [[Sheffer_sequence]] 셰퍼_다항식열? 셰퍼_열 ? https://mathworld.wolfram.com/ShefferSequence.html WpEn:Sheffer_sequence ... Google:Sheffer+Sequence [[Appell_sequence]] - 이것들 writing // 이하 '수'의 sequence가 아니라 [[범주론,category_theory]]([[범주,category]] theory), [[추상대수,abstract_algebra]]의 [[대상,object]]의 '''sequence''' 얘기 exact_sequence exact sequence https://everything2.com/title/exact+sequence https://mathworld.wolfram.com/ExactSequence.html [[WpEn:Exact_sequence]] [[WpKo:완전열]] short_exact_sequence short exact sequence [[WtEn:short_exact_sequence]] https://mathworld.wolfram.com/ShortExactSequence.html https://everything2.com/title/short+exact+sequence [[WpKo:짧은_완전열]] split_exact_sequence split exact sequence WtEn:split_exact_sequence (x 2023-12) https://mathworld.wolfram.com/SplitExactSequence.html [[WpKo:분할_완전열]] https://encyclopediaofmath.org/wiki/Split_sequence — ''split exact sequence, split short exact sequence'' https://ncatlab.org/nlab/show/split+exact+sequence long_exact_sequence long exact sequence [[WtEn:long_exact_sequence]] https://mathworld.wolfram.com/LongExactSequence.html <> = 너무 당연한 Thm. = $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 이 수렴하면 $\lim_{n\to\infty}a_n=0$ ∵ $a_n=S_n-S_{n-1}$ $\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}(S_n-S_{n-1})=\lim_{n\to\infty}S_n-\lim_{n\to\infty}S_{n-1}=0$ rel. [[Srch:term_test]], curr at [[수렴,convergence#s-1]] = 제목에 대해 = 사실 '수열'에 정확히 해당되는 영어 표현은 sequence of numbers이다. (열=列=sequence) 그러고보니 '문자열' - 'string'에도 비슷한 번역 문제가 있다. 한국어 '수열'에는 [[수,number]]가, '문자열'에는 [[문자,character]]가 명시되지만, 영단어 sequence와 string은 '수'와 '문자'에만 쓰일 수 있는 것이 아니다. 한국어 번역과는 달리 각 항목이 꼭 [[수,number]]일 필요는 없다. '열'이나 '시퀀스'로 별도 페이지 만들고 그것의 sub가 여기(수열)로 처리될지도? 순서가 있는 1D 무언가는 모두 sequence이므로 나중에 별도 페이지가 필요하다. (delme) https://everything2.com/title/sequence nucleotide_sequence amino_acid_sequence 등등. QQQ '''sequence'''와 상당히 비슷한 [[string]]의 차이/비교/... [[스트링,string]]? = 수열의 극한의 정의, 수열의 수렴의 뜻, 수열의 발산의 뜻 = ( $n$ 이 무한으로 갈 때, ) ---- 수열이 특정한 값 $L$ 로 수렴한다는 것 $\left( \lim_{n\to\infty}a_n=L \right)$ 은, 모든 양의 실수 $\epsilon$ 에 대해, 그에 대응하는 다음과 같은 정수 $N$ 이 존재한다는 것. if $n>N$ then $|a_n-L|<\epsilon$ i.e. $\lim_{n\to\infty}a_n=L$ ...(" $a_n$ 이 $L$ 로 수렴한다. ") ⇔ $\forall\varepsilon>0, \exists N>0$ such that $n>N\Rightarrow|a_n-L|<\varepsilon$ $\lim_{n\to\infty}a_n$ 이 존재할 때, $\{a_n\}$ 은 수렴한다고 한다. 수렴하지 않는 경우엔 발산한다고 한다. ---- 수열이 무한대로 발산한다는 것 $\left( \lim_{n\to\infty}a_n=\infty \right)$ 은, 모든 양의 정수 $M$ 에 대해, 다음과 같은 정수 $N$ 이 존재한다는 것. if $n>N$ then $a_n>M$ i.e. $\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ ⇔ $\forall M>0,\,\exists N>0$ such that $n>N \Rightarrow a_n>M$ ---- See also [[극한,limit]] = See also = 수열을 표현하기 위해 점화 관계를 쓸 수 있다. [[점화식,recurrence_relation]] [[생성함수,generating_function]] Related, MKLINK: [[목록,list]] or [[리스트,list]] - [[자료구조,data_structure]]관점에서 이것과 '''sequence'''가 매우 비슷한데... [[열거,enumeration]] = 수열의 합 = [[덧셈,addition]]의 합 부분 참조 너무 유명한 $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2$ 같은 건 생략했고 무한이 나오면... $\sum_{k=0}^{\infty}x^k=\frac1{1-x},\quad\quad|x|<1$ 이게 [[급수,series]]? $\sum_{k=1}^{\infty}kx^{k-1}=\frac1{(1-x)^2},\quad\quad|x|<1$ = 계차수열 = 수열 $\{a_n\}$ 이 있을 때, $b_n=a_{n+1}-a_n$ 으로 정의되는 수열 $\{b_n\}$ 을 $\{a_n\}$ 의 계차수열이라 함. 이 때의 성질: $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\;\;(n\ge2)$ = 증가수열, 감소수열, 단조수열 = ''mv to [[단조수열,monotone_sequence]] or [[단조수열,monotonic_sequence]] later'' 수열 $\{a_n\}$ 에 대해, $\forall n,$ $a_n\le a_{n+1}$ 이면 증가수열, 특히 $a_na_{n+1}$ 이면 순감소수열이라고 한다. 위 네 가지 경우를 단조수열(monotone sequence)이라고 한다. 단조증가수열 monotone increasing sequence 단조감소수열 monotone decreasing sequence 단조수열 monotone sequence : 단조증가수열과 단조감소수열을 합해 단조수열이라 부름 [[단조성,monotonicity]] [[단조수렴정리,monotone_convergence_theorem]] //이하 네 페이지는 만들수도 안 만들수도 [[증가수열,increasing_sequence]] [[감소수열,decreasing_sequence]] { 감소수열인지 확인하는 방법? $1.\; a_n-a_{n+1} \ge 0?$ $2.\; \frac{a_n}{a_{n+1}} \ge 1?$ (양항수열일 때) $3.\; f(n)=a_n,\; f'(x)\le 0?$ (미분 사용) (강우석 2021-05-10 20m) https://oeis.org/wiki/Decreasing_sequences } 단조증가수열 단조감소수열..이건 monotone/monotonic 중에 tbd = 유계, 유계수열, bounded_sequence = [[유계수열,bounded_sequence]] (1) $\forall n,\,a_n\le M$ 을 만족하는 실수 $M$ 이 존재하면 수열 $\{a_n\}$ 을 위로 유계(bounded above)라고 한다. (2) $\forall n,\,M\le a_n$ 을 만족하는 실수 $M$ 이 존재하면 수열 $\{a_n\}$ 을 아래로 유계(bounded below)라고 한다. (3) $\forall n,\,|a_n|\le M$ 을 만족하는 양수 $M$ 이 존재하면 수열 $\{a_n\}$ 을 유계수열(bounded sequence)이라고 한다. See [[유계,bounded]], [[경계,bound]] 정의: 모든 $n$ 에 대하여 $a_n\le M$ 을 만족하는 실수 $M$ 이 존재하면 수열 $\{a_n\}$ 은 '''위로 유계'''라 한다. 모든 $n$ 에 대하여 $a_n\ge m$ 을 만족하는 실수 $m$ 이 존재하면 수열 $\{a_n\}$ 은 '''아래로 유계'''라 한다. 위로 유계이고 동시에 아래로 유계인 수열을 '''유계'''라 한다. ('''유계수열''') (차영준) ## from 세종대 차영준 http://www.kocw.net/home/cview.do?cid=49c6b66ca646794b 9. 급수 01 48m- Ex. $a_n=n$ : 아래로 유계임, 위로는 유계 아님 $a_n=\frac{n}{n+1}$ : 유계임 ∵ $\forall n,\,0