$\vec{a}$ 와 $\vec{b}$ 의 '''스칼라곱''' 표기는 $\vec{a}\cdot\vec{b}$
두 [[벡터,vector]]를 [[이항연산,binary_operation]]해서 [[스칼라,scalar]] 결과가 나옴

2차원의 경우만 보면
 $(a_1, a_2)\cdot(b_1, b_2) = a_1 b_1 + a_2 b_2$

## Zill definition 7.3.1
In 3-space the '''dot product''' of two vectors $\vec{a}=\langle a_1,a_2,a_3 \rangle$ and $\vec{b}=\langle b_1,b_2,b_3\rangle$ is the number
 $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

n차원의 경우도 쉽게 유추 가능, [[내적,inner_product]] 맨 위 참조

표기 문자:
 두 벡터 사이에 가운뎃점
 TeX에선 \cdot

앞에 [[행벡터,row_vector]] 뒤에 [[열벡터,column_vector]]를 쓰는 [[행렬곱,matrix_product]](rel. [[행렬곱셈,matrix_multiplication]])으로도 많이 표기/표현됨. 그렇게 해야 [[선형대수,linear_algebra]]적으로 나타내기+다루기 편리하기 때문인데 이에 대해 tbw.
ex. $\vec{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle,\,\vec{b}=\langle b_1,b_2,b_3\rangle$ 이면
 $\vec{a}\cdot\vec{b}=[a_1\;a_2\;a_3]\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}=[a_1\;a_2\;a_3]\mathbb{1}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}$
여기서 $\mathbb{1}$ 은 $ij$ 원소가 [[크로네커_델타,Kronecker_delta]]인 [[항등행렬,identity_matrix]], $\mathbb{1}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

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<<TableOfContents>>

= 성질 =
[[교환법칙,commutativity]] 성립
 $\vec{x}\cdot\vec{y}=\vec{y}\cdot\vec{x}$
[[분배법칙,distributivity]] 성립
 $\vec{x}\cdot(\vec{y}+\vec{z})=\vec{x}\cdot\vec{y}+\vec{x}\cdot\vec{z}$

'''Dot product'''는 [[각,angle]]에 대한 정보를 제공한다.
 $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
따라서,
 $\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

$\theta$ 는 두 벡터 사이의 [[각,angle]]이므로 $0\le\theta\le\pi$



$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2\ge 0$
 pf. 1. $=|\vec{a}|^2\cos 0=|\vec{a}|^2$
 pf. 2. 각 성분들의 제곱의 합이므로 당연히 0 이상

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$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$ 자기 자신과의 내적은 그 벡터의 크기의 제곱과 같음
$\vec{a}\cdot\vec{a}\ge0$ 자기 자신과의 내적은 항상 0 또는 양의 실수
$\vec{a}\cdot\vec{a}=0\Leftrightarrow \vec{a}=\vec{0}$ 
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$ 내적의 [[교환법칙,commutativity]]
$\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$ 내적과 덧셈에 대한 [[분배법칙,distributivity]]
$(k\vec{a})\cdot\vec{b}=k(\vec{a}\cdot\vec{b})$ 실수배와 내적에 대한 [[결합법칙,associativity]]

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Properties of the Dot Product (Stewart)에서 위에 빠진 거 추가

$(c\vec{a})\cdot\vec{b}=c(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{a}\cdot(c\vec{b})$
$\vec{0}\cdot\vec{a}=0$ 영벡터와 임의의 벡터의 dot product는 실수 0

= 표기?? TOCLEANUP =
표기가 여럿일 수 있는데, 벡터의 길이(magnitude? length??)를 [[절대값,absolute_value]]([[노름]]?) 으로 표기하기도 하고
$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

삼각형이라면 이렇게 이런관례로 표현하기도 하는것같던데 맞는건가
$\vec{a}\cdot\vec{b} = AB\cos\theta$

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$\vec{A}\cdot\vec{B} \overset{\triangle}= AB\cos\theta_{AB}$
https://i.imgur.com/rVxlyWu.png

$\vec{A}\cdot\vec{A}=A^2$
$A=\sqrt{\vec{A}\cdot\vec{A}}$

이 책의 [[벡터곱,vector_product,cross_product]]도 여기에 적으면,
$\vec{A}\times\vec{B} \overset{\triangle}= \vec{a_n} |AB\sin\theta_{AB}|$
https://i.imgur.com/yHqiKHt.png

## 이상 Cheng(1983)에서




== 두 벡터가 이루는 각 ==
(영벡터가 아닌) 두 벡터가 '''수직''' ⇔
 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$
 ∵ $\cos\frac{\pi}2=0$

$\vec{a}\cdot\vec{b}>0$ 사잇각 예각
$\vec{a}\cdot\vec{b}<0$ 사잇각 둔각

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평행 조건
$\vec{a}\parallel\vec{b}\;\Longleftrightarrow\;\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm|\vec{a}||\vec{b}|$
수직 조건
$\vec{a}\bot\vec{b}\;\Longleftrightarrow\;\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

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사잇각([[각,angle]])에 따른 내적의 [[부호,sign]]

||사잇각의 범위 ||내적의 부호 ||
||$0\le\theta<\frac{\pi}{2}$   ||$\vec{a}\cdot\vec{b}>0$ ||
||$\theta = \frac{\pi}{2}$     ||$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ ||
||$\frac{\pi}{2}<\theta\le\pi$ ||$\vec{a}\cdot\vec{b}<0$ ||

= 벡터곱, Ivan Savov p212 =
두 벡터 $\vec{v}=(v_x,v_y,v_z),\,\vec{w}=(w_x,w_y,w_z)$ 를 가정.
더하는 연산 결과가 $(v_x+w_x,v_y+w_y,v_z+w_z)$ 이므로 곱은 $(v_xw_x,v_yw_y,v_zw_z)$ 라고 생각할 수 있겠으나, 이렇지는 않음.

내적은 두 벡터를 입력하여 하나의 실수를 출력하는 연산.
 $\cdot\,:\,\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$
대수 공식
 $\vec{v}\cdot\vec{w}\equiv v_xw_x+v_yw_y+v_zw_z$
를 사용하거나, 기하학 공식
 $\vec{v}\cdot\vec{w}\equiv ||\vec{v}|| \, ||\vec{w}|| \cos(\varphi)$
를 사용할 수 있다. $\varphi$ 는 두 벡터 사이의 [[각,angle|각도]]이다. 즉 내적의 값은 두 벡터의 [[길이,length]]와 사이 각도의 [[코사인,cosine]]값에 의존한다.
위 두 공식을 결합하여 다음 공식을 얻을 수 있다.
 $\cos(\varphi)=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{||\vec{v}|| \, ||\vec{w}||}=\frac{v_xw_x+v_yw_y+v_zw_z}{||\vec{v}|| \, ||\vec{w}||},$
 $\varphi=\cos^{-1}(\cos(\varphi))$
기하학적 인자 $\cos(\varphi)$ 는 두 벡터의 상대적인 [[방향,direction]]에 의존한다.
 * 두 벡터가 같은 방향을 가리킨다면, $\cos(\varphi)=\cos(0\textdegree)=1$ 이고 따라서 $\vec{v}\cdot\vec{w}=||\vec{v}||\,||\vec{w}||$ 이다.
 * 두 벡터가 수직이라면, $\cos(\varphi)=\cos(90\textdegree)=0$ 이고 따라서 $\vec{v}\cdot\vec{w}=0$ 이다.
 * 두 벡터가 정확히 서로 반대 방향을 가리킨다면, $\cos(\varphi)=\cos(180\textdegree)=-1$ 이고 따라서 $\vec{v}\cdot\vec{w}=-||\vec{v}||\,||\vec{w}||$ 이다.

외적은 두 벡터를 입력하여 다른 벡터를 출력하는 연산.
 $\times\,:\,\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$
i×j=k 등등, j×i=-k 등등(교환법칙 성립하지 않는다는 것), 공식, 사이 각의 사인값에 비례한다는 것, a×b는 a와 b 모두에 수직한다는 것, 오른손 법칙 등 언급. 생략.
'외적에 대한 훌륭한 삽화'로 제시된 그림: https://1ucasvb.tumblr.com/post/76812811092/given-two-vectors-in-three-dimensions-this-is

= tmp bmks ko =
https://m.blog.naver.com/spin898/221141425499
 끝에 [[dual_space]] 언급
https://m.blog.naver.com/spin898/221144108938
 [[벡터,vector]]를 [[함수공간,function_space]]으로 [[일반화,generalization]]
 [[브라켓표기법,bra-ket_notation]]
 [[직교함수,orthogonal_function]]
 함수/벡터 집합에서 [[완전성,completeness]]이 무엇인지

= Twins & Misc =
AKA '''점곱, 도트곱'''

'''See also [[내적,inner_product]]'''
엄밀히는 다르지만 같은 의미로 쓰일 때가 or 동일한 경우가 많음

'3중 스칼라곱'(=스칼라삼중곱)에 대해선 curr see [[삼중곱,triple_product]], later see [[스칼라삼중곱,scalar_triple_product]]

스칼라곱의 다른 뜻은 ... 이른바 '상수배', '실수배'라 불리는.. (쉬운 개념이라 페이지가 아직 없는데)
저건 pagename '스칼라배'로 할까? TBD
scalar_product
scalar_multiplication
scalar_multiple
이건 [[벡터,vector]], [[행렬,matrix]]등에 [[스칼라,scalar]]를 곱해서 scale을 조절하는([[WpEn:Scaling_(geometry)]])... [[영,zero]]을 곱하는 것은 영벡터/영행렬로 만드는, 음수를 곱하는 것은 벡터의 경우 [[방향,direction]]을 반대로 하는, 특히 -1을 곱하는 것은 덧셈의 [[역원,inverse_element]]을 만드는 ... 그거
rel. [[곱셈,multiplication]] [[곱,product]] [[상수,constant]] [[스칼라,scalar]]
(tmp) Srch:scalar_multi
WpKo:스칼라_곱셈
WpEn:Scalar_multiplication
TBW

Up:
 [[선형대수,linear_algebra]]
 [[벡터,vector]]
 [[곱,product]]

Compare: [[벡터곱,vector_product,cross_product]]

Related:
 [[스칼라와_벡터_비교]],
 [[스칼라,scalar]]

Dot product, scalar product
 WpEn:Dot_product
 
dot product ≡ scalar product이며, inner product은 넓은 범위의 수학에서는 다를 수도 있나보다?
 Yes, later see [[내적공간,inner_product_space]], curr see [[공간,space]](내적공간)



Related:
 [[코사인,cosine]]
  [[코사인법칙,cosines_law]]
  [[사영,projection]] 특히 [[정사영,orthogonal_projection]]

Twins:
 https://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html
  노름 × 노름 × 사잇각의 cosine
 https://planetmath.org/dotproduct
 PL 구현 - [[http://rosettacode.org/wiki/Dot_product]]