[[미적분학의기본정리,FTC]]를 일반화시키면 '''스토크스 정리'''

'''스토크스 정리'''는 그린 정리를 [[3차원]]으로 확장한 것.
스토크스 정리는 한차원 높은 그린 정리라 할 수 있음.
[[그린_정리,Green_theorem]]는 '''스토크스 정리'''의 특수한 경우.

= Ulaby =
면적분과 선적분의 관계?

'''Stokes's theorem''' converts the [[면적분,surface_integral]] of the [[회전,curl]] of a vector over an open surface S into a [[선적분,line_integral]] of the vector along the contour C bounding the surface S.
 $\int_S(\nabla\times\vec{B})\cdot d\vec{s}=\oint_C \vec{B}\cdot d\vec{\ell}$

(Ulaby 7e p166 3-6.2)

= 정길수 =
바깥곡선을 따라 한 일 [[선적분,line_integral]]은
 $\oint \vec{A}d\ell$
곡면에서, 안쪽 원들에서 각각의 회전에 대해 $\text{curl}\vec{A}$ 를 구하고 그것과 면에 내적
 $\iint \text{curl}\vec{A}\cdot ds$
를 구하면 선적분과 같다는 정리가 스톡스 정리

 $\iint \text{curl}\vec{A} ds=\oint \vec{A}d\ell$
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정적분의 값을 찾는 다음 정리와 관련? 일반화?
 $f:[a,b]$ 에서 연속, $F:f$ 의 역도함수
$\Rightarrow\;\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$
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3차원 공간 상의 매끄러운 곡면 위에서 [[벡터장,vector_field]]의 [[회전,curl]]을 적분한 값이 그 곡면의 경계인 폐곡선에서 벡터장을 [[선적분,line_integral]]한 값과 같다는 정리.

면([[곡면,surface]]) S를 [[곡선,curve]] C가 둘러싸고 있을 때
> $\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_S\nabla\times\vec{F}\cdot d\vec{S}=0$

=0?

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선적분한 값 = 면적분한 값

어떤 [[벡터장,vector_field]] $\vec{A}$ 가 있고,
폐경로(폐곡선) $L$ 이 있고 그 위를 지나는 미소길이가 $d\vec{\ell}$ 이고,
폐경로에 의해 만들어지는 표면 $S$ 가 있으며, 그 부분인 미소면적 $d\vec{s}$ 에서 발생하는 A의 회전 $(\nabla\times\vec{A})$ 이 있을 때
> $\oint_L\vec{A}\cdot d\vec{\ell} = \int_S \nabla\times\vec{A} d\vec{s}$
선적분 = 면적분 값이 같다.
S 전체에 걸쳐 $\vec{A}$ 와 $\nabla\times\vec{A}$ 가 연속일 때, 폐경로 L에(sic, 의?) 주위의 벡터장 $\vec{A}$ 의 회전은 L을 주변으로 하는 개구면(? 개=開) S에 대한 $\vec{A}$ 의 회전을 [[면적분,surface_integral]]한것과 같다.

tmp from [[https://www.youtube.com/watch?v=k95V6MmWwEY&list=PL4kNQgnipU2H6NbkZDdsM4qmmVOSILnw3&index=25 전전공부방]]
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$\oint_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_S(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{a}$
S는 가장자리가 폐곡선 C인 면
이 정리는 임의의 폐곡선에 대해 항상 성립 (일종의 [[항등식,identity]]?)
(여기서 S는 가장자리만 폐곡선 C이면 어떤 것이라도 OK)

'''Stokes 정리'''와 다이버전스 정리([[발산정리,divergence_theorem]])
Stokes thm: 폐곡선에 대한 선적분을 면적분으로
 $\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_S(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{a}$
Divergence thm: 폐곡면에 대한 면적분을 부피적분으로
 $\oint_S \vec{F}\cdot d\vec{a}=\int_V(\nabla\cdot\vec{F})dv$

[[Date(2020-09-16T09:33:21)]] from 차동우: 스토크스 정리와 다이버젠스 정리 https://youtu.be/Sa7xDuWEvZ4 13m
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임의의 벡터 $\vec{A}$ 에 대해
 $\iiint_V\nabla\cdot\vec{A}dV=\iint_S\vec{A}\cdot\hat{n}dS$
가 성립 (Gauss' 정리)

가우스 정리와 비슷하게
 $\oint\vec{A}\cdot d\vec{r}=\iint_S\nabla\times\vec{A}\cdot\hat{n} dS$
가 성립 ('''Stokes' 정리''')

from [[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3578284&cid=58944&categoryId=58968 박석재]] 마지막부분
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DELME

$S$ 는 조각마다 매끄러운 유향 곡면
$C$ 는 그 경계이며 조각마다 매끄러운 단순 폐곡선
$F$ 는 벡터장
그 성분들의 연속인 편도함수가 $S$ 를 포함하는 ℝ^^3^^의 열린 영역에서 존재

그러면 다음이 성립:
 $\int\nolimits_C F\cdot dr = \iint\nolimits_S \operatorname{curl} F \cdot dS$

[[https://www.youtube.com/watch?v=KQNxtH3VzQo src]]
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경로에 의존하지 않는다는 점에서
[[보존력,conservative_force]]
와 관련????

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이건 나중에...
$\int_M d\omega = \int_{\partial M}\omega$

e2에 따르면,
 $M:$ differential_manifold with [[경계,boundary|boundary]] $\partial M$
 $\omega:$ [[미분형식,differential_form]]이며 order는 M의 차원보다 하나 작은
 $d\omega:$ 그것(omega?)의 [[외미분,exterior_derivative]]

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Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125355&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 스토크스 정리]]
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5810541&cid=60217&categoryId=60217 물리학백과: 스토크스의 정리]]
https://angeloyeo.github.io/2020/08/22/stokes_theorem.html
[[WpEn:Stokes'_theorem]]
[[WpKo:스토크스의_정리]]
https://everything2.com/title/Stokes%2527+Theorem

Up: [[벡터미적분,vector_calculus]]