'''Jensen’s inequality, 젠센 부등식''' (kms) '''옌센 부등식''' (wpko)

오목볼록([[오목볼록,concave_and_convex]])과 연관. - curr goto [[미적분,calculus#s-9]] <- 저기에도 설명 있음.
오목볼록과 매우 밀접. see https://suhak.tistory.com/221 (볼록 함수와 젠센 부등식)
[[볼록함수,convex_function]]

(대충) // 나중에 엄밀하게 rewrite
볼록함수에 대하여,
값들의 평균을 함수에 대입한 결과는
값들을 각각 함수에 대입하여 평균을 낸 것보다
작거나 같다는 것.
i.e.
값들을 (모두) 평균하여 함수에 대입한 결과는
값들을 (각각) 대입하여 평균을 낸 것보다
이하라는 것.

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tmp from [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405148&ref=y&cid=47324&categoryId=47324 수학백과 - 산술평균-기하평균_부등식]]
{
[[산술평균-기하평균_부등식]](at [[부등식,inequality#s-8]])을 일반화하면 옌센부등식?

위로 오목(concave up) ''(i.e. 아래로 볼록)''한 함수 $f$ 에 대한 성질로,
 $x_1,x_2,\cdots,x_n$
의 [[가중평균,weighted_mean]](curr see [[가중값,weight]])의 함수값이
 $f(x_1),f(x_2),\cdots,f(x_n)$ 의 가중평균 이하라는 것
}
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// tmp from wpko; merge.
{
기대값의 볼록함수와 볼록함수의 기대값 사이의 부등식 관계.
(see [[기대값,expected_value]], [[볼록함수,convex_function]])
}

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// 수학백과
볼록함수 $f$ 가 만족하는 부등식은 다음과 같다.
 $f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)$
여기서
 $f:$ 실수 구간에서 정의된 [[볼록함수,convex_function]]
 $x_1,x_2:$ 구간 내 임의의 두 점
 $t:$ $0<t<1$ 인 임의의 실수
(부등식의) 등호가 $x_1=x_2$ 일 때만 성립하면 $f$ 는 순볼록함수라고 한다.

(여기에 비슷한 구조를 가진 [[영_부등식,Young_inequality]]과 [[횔더_부등식,Hoelder_inequality]]을 소개하는데 skipped)

이것을 일반화한 것이 '''옌센 부등식'''.
 $f(t_1x_1+t_2x_2+\cdots+t_nx_n)\le t_1f(x_1)+t_2f(x_2)+\cdots+t_nf(x_n)$
여기서
 $f$ : 실수 구간에서 정의된 볼록함수
 $x_1,x_2,\ldots,x_n:$ 구간 내 임의의 점
 $t_1,t_2,\ldots,t_n:$ 0보다 크고 합이 1인 실수들 // ''rel. partition_of_unity ? ''
$f$ 가 순볼록함수이면 등호는 $x_1=x_2=\cdots=x_n$ 일 때만 성립한다.

$t_i=\frac{s_i}{s_1+s_2+\cdots+s_n}$ 으로 놓으면
 $f\left(\frac{s_1x_1+s_2x_2+\cdots+s_nx_n}{s_1+s_2+\cdots+s_n}\right)\le\frac{s_1f(x_1)+s_2f(x_2)+\cdots+s_nf(x_n)}{s_1+s_2+\cdots+s_n}$
i.e.
 $f\left(\frac{\sum s_ix_i}{\sum s_i}\right)\le\frac{\sum s_if(x_i)}{\sum s_i}$

좌변의 $f()$ 안에 들어가는 것은 [[가중평균,weighted_mean]] 즉 [[기대값,expected_value]]

// chk: $s_1,\ldots,s_n$ : 양수 [[가중값,weight]]?


''즉 (Jensen 부등식)은 (볼록함수의 조건이 되는 부등식)을 일반화한 것? chk''

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확률변수의 '''Jensen inequality'''

''/*from [[https://www.di.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid648405.pdf this slide]] p2*/''
If $f$ is a [[볼록함수,convex_function]] and $X$ is a [[확률변수,random_variable]], then
 $Ef(X)\ge f(EX)$
Moreover(게다가/더욱이), if $f$ is strictly convex(순볼록), then equality implies that $X=EX$ with probability 1, i.e. $X$ is a constant.

// from 수학백과 (증명은 수학백과에)
$X$ 가 확률변수이고, $f$ 가 $X$ 의 값을 포함하는 [[구간,interval]]에서 정의된 [[볼록함수,convex_function]]일 때, 다음 부등식이 성립.
 $f(E(X)) \le E(f(X))$
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tmp bmks en
http://mathonline.wikidot.com/jensen-s-inequality
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Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405232&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 옌센 부등식]]
https://everything2.com/title/Jensen+inequality
[[WpKo:옌센_부등식]]
[[WpEn:Jensen's_inequality]]
[[https://www.probabilitycourse.com/chapter6/6_2_5_jensen%27s_inequality.php]]
https://mathworld.wolfram.com/JensensInequality.html
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Jensen_inequality
[[Namu:젠센%20부등식]]

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Up: [[부등식,inequality]]