> $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

여기 변수 $x$ 에 [[원주율,pi]] $\pi$ 를 대입하면, Euler's identity([[오일러_항등식,Euler_identity]]):
 $e^{i\pi}+1=0$

복소 지수와 [[삼각함수,trigonometric_function]]의 관계를 나타냄.

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i, x 대신 j, θ로 다시 쓰면
> $e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta$

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cis 표기법: 오일러 공식의 함수화, cis function
$\operatorname{cis}(x)=\cos(x)+i\sin(x)=e^{ix}$
i.e.
$\operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta$

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$z=a+bi$
$=a+ib$
$=r\cos\theta+ir\sin\theta$
$=r(\cos\theta+i\sin\theta)$
$=re^{i\theta}$

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관련: [[드무아브르_공식,de_Moivre_s_formula]]

= Thomas =
정의. 임의의 실수 $\theta$ 에 대해
> $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

(유도 과정? 책에선 $e$ 의 허수 제곱이 정의되지 않았음을 언급하며 증명이라고는 하지 않음)
$e^x$ 의 [[테일러_급수,Taylor_series]]
 $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\;\;(|x|<\infty)$
에서 $x=i\theta\;(\theta\in\mathbb{R})$ 로 치환하고 간단히 고치면
 $e^{i\theta}=1+\frac{i\theta}{1!}+\frac{i^2\theta^2}{2!}+\frac{i^3\theta^3}{3!}+\frac{i^4\theta^4}{4!}+\frac{i^5\theta^5}{5!}+\frac{i^6\theta^6}{6!}+\frac{i^7\theta^6}{7!}+\cdots$
 $=\left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\frac{\theta^6}{6!}+\cdots\right)+i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\frac{\theta^7}{7!}+\cdots\right)$
 $=\cos\theta+i\sin\theta$

이 식으로부터 임의의 [[복소수,complex_number]] $a+bi$ 에 대하여 $e^{a+bi}$ 을 $e^{a}\cdot e^{bi}$ 로 정의 내릴 수 있다. 아울러 식에 $\theta=\pi$ 를 대입하면
 $e^{i\pi}=-1$
이고 이것을 변형한
 $e^{i\pi}+1=0$
은 수학에서 가장 중요한 5개의 [[상수,constant]]로 이루어져 있다. ''([[오일러_항등식,Euler_identity]])''

(Thomas 13e ko chap8.10 이항급수와 테일러 급수의 활용 - 마지막 부분)

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Videos
The most beautiful equation in math, explained visually (Euler’s Formula) - YouTube Welch Labs (27m)
https://www.youtube.com/watch?v=f8CXG7dS-D

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Twins:
https://mathvault.ca/euler-formula/ Euler’s Formula: A Complete Guide
https://mathworld.wolfram.com/EulerFormula.html
https://brilliant.org/wiki/eulers-formula/

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Up: [[공식,formula]]