원운동,circular_motion


Uniform Circular Motion

등속원운동 (등속원운동의 줄임말)
속력은 일정 (속력,speed)
속도는 일정하지 않음 (속도,velocity)
방향,direction이 계속 변하므로.
한 바퀴를 돌때마다 주기성이 있음. (각,angle에 대한 주기,period)

한 바퀴를 도는 것을 상정하면,
각속도
$\omega=\frac{\theta}{t}=\frac{2\pi}{T}$ 이고,
선속도
$v=\frac{s}{t}=\frac{2\pi r}{T}$ 이고 양변을 $r$ 로 나누면 $\frac{v}{r}=\frac{2\pi}{T}$ 이다.
따라서 둘 다 $\frac{2\pi}{T}$ 이므로
$\omega=\frac{v}{r}$
$v=r\omega$

또는 그냥
$\omega=\frac{2\pi}{T}$
$v=\frac{2\pi r}{T}$
에서
$\omega=v/r,\; v=r\omega$
이 나온다. 2020-12-16

$\theta$ : 각위치,angular_position
$\Delta\theta$ : 각변위,angular_displacement
$\omega$ : 각속도,angular_velocity
$T$ : 주기,period
등속원운동에서, 한 바퀴 회전하는데 걸리는 시간
$T=\frac{2\pi}{\omega}$
$f$ : 회전수
$f=\frac1{T}=\frac{\omega}{2\pi}$
반지름 $r$ , 주기 $T$ 인 등속원운동이라면 $T[{\rm s}]$ 동안 $2\pi r[{\rm m}]$ 이동하므로
$v=\frac{2\pi r}{T}=\omega r$
$\alpha$ : 각가속도,angular_acceleration
$\frac{\Delta\omega}{\Delta t}$

속력 일정함, 속도 일정하지 않음

구심가속도는
$a=\frac{\Delta v}{t}=\frac{v\Delta\theta}{t}=v\omega=(r\omega)\omega=r\omega^2=r\left(\frac{v}{r}\right)^2=\frac{v^2}{r}$
여기서 특히
$a=r\omega^2=\frac{v^2}{r}$
구심력은
$F=ma=mr\omega^2=\frac{mv^2}{r}$


심지어 갈릴레오조차도 “원운동은 관성에 의해 일어난다”고 생각했다.
원운동은 가속도 운동이다.

선속도
$v=\frac{ds}{dt}=\frac{Rd\theta}{dt}=R\frac{d\theta}{dt}=R\omega$
각속도
$\omega=\frac{d\theta}{dt}$

따라서,
$\fbox{v=R\cdot\omega}$

그리고
$a=\frac{dv}{dt}=\frac{vd\theta}{dt}$ - ??? CHK
이므로
$\fbox{a=v\omega}$

따라서
$\fbox{a=\frac{v^2}{R}$


원 위의 처음 점 i, 나중 점 f를 상정.
원 중심에서부터 i까지의 위치벡터 $\vec{r_i}$ 이고 그 점에서 회전방향쪽 접선벡터 $\vec{v_i}$
원 중심에서부터 f까지의 위치벡터 $\vec{r_f}$ 이고 그 점에서 회전방향쪽 접선벡터 $\vec{v_f}$
(접벡터,tangent_vector)
$\vec{r_i}\ne\vec{r_f}$ 이지만, $|\vec{r_i}|=|\vec{r_f}|=$ 원의 반지름으로 일정.
위치벡터의 차 $\Delta\vec{r}=\vec{r_f}-\vec{r_i}$

$\Delta\vec{v}=\vec{v_f}-\vec{v_i}$ 는, 그림 그려 보면, 원 중심 방향.

중간생략.

구심력
= 질량 × 구심가속도
$=\frac{mv^2}{r}$