유리수,rational_number

표기:
$\mathbb{Q}$ (칠판_볼드체,blackboard_bold), ℚ(유니코드)

$\mathbb{Q}=\left{n/m\middle|n\in\mathbb{Z},m\in\mathbb{Z},m\ne 0\right}$

$\mathbb{Q}=\bigcup_{i\in\mathbb{Z}}\bigcup_{j\in\mathbb{N}}\left\lbrace \frac{i}{j}\right\rbrace$ [1]

하나의 유리수 $\frac{n}{m}$ 를 정수들의 순서쌍(ordered pair, see 튜플,tuple) $(n,m)$ 으로 볼 수 있다. (단 m≠0)

정수,integer비,ratio(나눗셈,division)로 나타낼 수 있는 수.
정수의 분수,fraction 형태로..?
(분모가 0인 경우는 제외)
정수,integer분수,fraction. (nLab)

MKLINK: 정수,integer 분수,fraction numerator denominator <- 이것들로 정의? chk

// (유리수체? 유리체?) ℚ 에 대해
체,field of rational numbers : field_of_fraction(fraction_field?) s of the 가환환,commutative_ring of integers (nLab)


유리수의 조밀성(density)
a<b인 임의의 두 실수 a, b에 대하여 a<r<b인 유리수 r이 존재한다.
$\forall x,y\in\mathbb{R},$
$x<y$ 일 때
$x<r<y$$r\in\mathbb{Q}$ 이 존재한다.
(따름정리)
$\forall r\in\mathbb{R},$
$\lim_{n\to\infty}a_n=r$ 인 유리수 수열 $\lbrace a_n \rbrace$ 이 존재한다.
// 조밀성,density 나중에 정리. 무리수도 조밀함. see 맛있는해석학 4e p54 정리 2.4.17

모든 유한소수는 유리수이다.
모든 순환소수는 유리수이다.
기약분수의 분모를 소인수분해,prime_factorization했을 때 소인수가 2와 5밖에 없으면 유한소수로 나타낼 수 있다.

유리수는 체,field, esp 순서체,ordered_field.
유리수는 완비가 아님 - 완비성,completeness을 갖지 않음 - 순서체이지만 완비순서체,complete_ordered_field는 아님.
(Thomas)


Up: 수의_집합
유리수 집합은 체,field이다.

See also: 부동소수점,floating_point


유리수무리수,irrational_number의 합집합은 실수,real_number를 이룬다.

유리수를 무한히 더해서(infinite sum) 무리수,irrational_number로 만들 수 있다. ex. Fourier, $\frac11-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\frac1{11}+\cdots=\frac{\pi}{4}$
(유한 번 더하는 건 물론 어림없다. 닫힘성,closedness)