음수의_제곱근

a>0, b>0일 때, $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}, \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ 임을 알 고 있을 것이다. ...ⓐ
이것을 이용하면 다음 두 식이 성립한다. (암기)

$a<0, b<0$ 일 때, $\sqrt{a}\sqrt{b} = -\sqrt{ab}$ ...ⓑ

$a>0, b<0$ 일 때, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = -\sqrt{\frac{a}{b}}$ ...ⓒ

ⓑ, ⓒ의 경우가 아닐 경우는 그냥 ⓐ에 따르면 된다. 예를 들어,
a>0, b<0일 경우 $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ 이다.
a<0, b<0일 경우 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ 이다.

ⓒ의 조건은 '모음자양'이라고 외우면 된다.

[edit]

ⓑ의 증명

전제: $a<0, b<0$
여기서 $x=-a, y=-b$ 라고 놓는다. 그러면 $x>0, y>0$ 이다. 또한 $\sqrt{a}=\sqrt{-x}=\sqrt{x}i, \sqrt{b}=\sqrt{-y}=\sqrt{y}i$ 이다.

시작
$\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{x}i \cdot \sqrt{y}i$ 이다. 복소수,complex_number는 곱셈,multiplication의 교환법칙,commutativity이 성립하므로,
$ = \sqrt{x}\sqrt{y}ii$ 인데,
복소수,complex_number 허수단위,imaginary_unit의 정의에 따라 $i^2=-1$ 이므로,
$ = \sqrt{x}\sqrt{y}(-1) $ 이다. ⓐ에 따라 $\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ 이므로
$ = -\sqrt{xy} = -\sqrt{(-x)(-y)} $ 이다. 위에서 정의한 $a, b, x, y$ 의 관계에 따르면
$ = -sqrt{ab}$

[edit]

ⓒ의 증명

전제: $a>0, b<0$
$b=-y$ 로 놓는다. 그러면 $-y$ 는 양수이므로 ⓐ의 공식을 적용할 수 있다.
또한 $\sqrt{b} = \sqrt{-y} = \sqrt{y}i$ 이다.

시작:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{y}i} = \frac{\sqrt{a}i}{\sqrt{y}i^2} = \frac{\sqrt{a}i}{-\sqrt{y}}$
$= -\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{y}}\cdot i = -\sqrt{\frac{a}{y}}\cdot i = -\sqrt{\frac{a}{y}\cdot(-1)} = -\sqrt{\frac{a}{-y}} = -\sqrt{\frac{a}{b}} $