이항정리,binomial_theorem

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k y^{n-k}$

$\binom{n}{k}$ 는 이항계수,binomial_coefficient.

친숙한 알파벳으로 다시 쓰면,
$(a+b)^n$

$={}_n\mathrm{C}_0a^n+{}_n\mathrm{C}_1a^{n-1}b+{}_n\mathrm{C}_2a^{n-2}b^2+\cdots+{}_n{\rm C}_{n-1}ab^{n-1}+{}_n{\rm C}_nb^n$
$=\sum_{r=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_ra^{n-r}b^r$

복소수에도 성립

$(a+b)^n=\sum_{\nu=0}^{n}\binom{n}{\nu}a^{\nu}b^{n-\nu}$

for $a,b\in\mathbb{C},\;n\in\mathbb{N}_0$
이항계수는 $\binom{n}{0}:=1,\;\binom{n}{\nu}:=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{\nu!},\; 1\le \nu \le n$ CHK k는 뭐지? 책이 잘못?

일반적으로, (n ∈ ℕ)

$(a+b)^n$

을 전개하면 조합,combination을 사용해서

$\binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r} + \cdots + \binom{n}{n}b^n$
$=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}a^{n-r}b^r$

i.e.

${}_n\mathrm{C}_0a^n + {}_n\mathrm{C}_1a^{n-1}b + {}_n\mathrm{C}_2a^{n-2}b^2 + \cdots + {}_n\mathrm{C}_ra^{n-r}b^{r} + \cdots + {}_n\mathrm{C}_nb^n$
$=\sum_{r=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_ra^{n-r}b^r$

로 나타낼 수 있고, 특히 (r+1)번째 항

${}_n{\rm C}_ra^{n-r}b^r$

이 일반항이다. (저게 r번째 항이 아니다)

_nC_r=_nC_n-r이므로 대칭형이다.

이항정리에서 계수(이항계수)의 배열은 다음과 같은 패턴을 띠며,

$(a+b)^0=1$
$(a+b)^1=1a+1b$
$(a+b)^2=1a^2+2ab+1b^2$
$(a+b)^3=1a^3+3a^2b+3ab^2+1b^3$
$\vdots$

이런 수의 배열을 파스칼_삼각형,Pascal_triangle이라고 한다.

$(1+x)^n={}_n{\rm C}_0+{}_n{\rm C}_1x+{}_n{\rm C}_2x^2+\cdots+{}_n{\rm C}_nx^n$
에 $x=1$ 을 대입하면
$2^n={}_n{\rm C}_0+{}_n{\rm C}_1+\cdots+{}_n{\rm C}_n$
임을 알 수 있다.