$(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k y^{n-k}$

$\binom{n}{k}$ 는 [[이항계수,binomial_coefficient]].
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친숙한 알파벳으로 다시 쓰면,
$(a+b)^n$
 $={}_n\mathrm{C}_0a^n+{}_n\mathrm{C}_1a^{n-1}b+{}_n\mathrm{C}_2a^{n-2}b^2+\cdots+{}_n{\rm C}_{n-1}ab^{n-1}+{}_n{\rm C}_nb^n$
 $=\sum_{r=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_ra^{n-r}b^r$
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복소수에도 성립
 $(a+b)^n=\sum_{\nu=0}^{n}\binom{n}{\nu}a^{\nu}b^{n-\nu}$
for $a,b\in\mathbb{C},\;n\in\mathbb{N}_0$
이항계수는 $\binom{n}{0}:=1,\;\binom{n}{\nu}:=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{\nu!},\; 1\le \nu \le n$ CHK k는 뭐지? 책이 잘못?
## Freitag Complex Analysis p22
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일반적으로, (n ∈ ℕ)
 $(a+b)^n$
을 전개하면 [[조합,combination]]을 사용해서
 $\binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r} + \cdots + \binom{n}{n}b^n$
 $=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}a^{n-r}b^r$
i.e.
 ${}_n\mathrm{C}_0a^n + {}_n\mathrm{C}_1a^{n-1}b + {}_n\mathrm{C}_2a^{n-2}b^2 + \cdots + {}_n\mathrm{C}_ra^{n-r}b^{r} + \cdots + {}_n\mathrm{C}_nb^n$
 $=\sum_{r=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_ra^{n-r}b^r$
로 나타낼 수 있고, 특히 (r+1)번째 항
 ${}_n{\rm C}_ra^{n-r}b^r$
이 일반항이다. (저게 r번째 항이 아니다)

,,n,,C,,r,,=,,n,,C,,n-r,,이므로 대칭형이다.

이항정리에서 계수(이항계수)의 배열은 다음과 같은 패턴을 띠며,
 $(a+b)^0=1$
 $(a+b)^1=1a+1b$
 $(a+b)^2=1a^2+2ab+1b^2$
 $(a+b)^3=1a^3+3a^2b+3ab^2+1b^3$
 $\vdots$
이런 수의 배열을 [[파스칼_삼각형,Pascal_triangle]]이라고 한다.
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$(1+x)^n={}_n{\rm C}_0+{}_n{\rm C}_1x+{}_n{\rm C}_2x^2+\cdots+{}_n{\rm C}_nx^n$
에 $x=1$ 을 대입하면
$2^n={}_n{\rm C}_0+{}_n{\rm C}_1+\cdots+{}_n{\rm C}_n$
임을 알 수 있다.
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$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots+x^n$

from hightop; chk

$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\cdots$

and
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots $

$\ln(1+x)=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\frac14x^4+\cdots$


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Binomial theorem when $n$ is a positive integer
$a,b$ 가 실수이고 $n$ 이 양의 정수이면
 $(a+b)^n=$
  $a^n+$
  $na^{n-1}b+$
  $\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2+$
  $\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}a^{n-3}b^3+$
  $\cdots+$
  $b^n$
[[이항계수,binomial_coefficient]]
 $\binom{n}{r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}$
를 쓰면
 $(a+b)^n=\sum_{r=0}^n \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$

(Jeffrey AEM 2001 p6)
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For any positive integer $n,$
$(a+b)^n$
 $=a^n$
 $+na^{n-1}b$
 $+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}a^{n-2}b^2$
 $+\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot2\cdot3}a^{n-3}b^3$
 $+\cdots$
 $+nab^{n-1}$
 $+b^n$
For instance, // [[인수분해,factorization]] 중 일부
 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
 $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
 $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

(Thomas 13e F-1 기본 공식과 법칙)


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[[이항계수,binomial_coefficient]] ,,''n'',,C,,''k'',,
[[이항전개,binomial_expansion]]

[[이항분포,binomial_distribution]]

[[Date(2022-04-09T15:02:56)]]
[[이항급수,binomial_series]] - [[급수,series]] - writing
[[이항공식,binomial_formula]]
{
https://planetmath.org/BinomialFormula
[[공식,formula]]
}
[[이항항등식,binomial_identity]] - [[항등식,identity]]
{
https://mathworld.wolfram.com/BinomialIdentity.html
}

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Twins:
[[WpKo:이항_정리]]
https://everything2.com/title/Binomial+Theorem
https://ghebook.blogspot.com/2010/10/binomial-theorem.html
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Binomial_Theorem

[[Date(2022-04-09T04:13:45)]]
https://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html
https://ncatlab.org/nlab/show/binomial+theorem
https://planetmath.org/binomialtheorem
https://proofwiki.org/wiki/Binomial_Theorem
(semi-twin: binomial_series - [[급수,series]] 관점 => https://mathworld.wolfram.com/BinomialSeries.html ... Google:binomial.series )

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Up: [[정리,theorem]]