평균을 일반화한 것..?

자연수 $m$ 에 대해 
 $E(X^m)$
을 $X$ 의 $m$ 번째 '''적률'''( $m$ th moment ) 로 정의함.

첫번째 적률 E(X^^1^^)은 [[평균,mean,average]]. [[기대값,expected_value]]도? - [[대표값,평균값,중앙값,최빈값]]?
두번째 적률 E(X^^2^^)은 [[분산,variance]].
세번째 적률 E(X^^3^^)은 [[왜도,skewness]].
네번째 적률 E(X^^4^^)은 [[첨도,kurtosis]].

= tmp 0 =
''from http://networksciencebook.com/chapter/2#degree 20%쯤 Box 2.2''

Average(mean):
 $\langle x \rangle = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_N}{N}=\frac1N\sum_{i=1}^N x_i$

'''The n^^th^^ moment''':
 $\langle x^n \rangle = \frac{x_1^n+x_2^n+\cdots+x_N^n}{N}=\frac1N\sum_{i=1}^N x_i^n$

''QQQ langle rangle 표기는 network_theory / graph_theory에서 자주 쓰이는듯? 저기선 전체 수를 $n$ 보다는 $N$ 으로 표기하는 경향도 보이는데.''

= tmp 1 =
from https://hsm-edu.tistory.com/756?category=810686 (글 3개) ; chk
물리에서
0차적률 [[질량,mass]]
1차적률 [[질량중심,mass_center]]
2차적률 [[관성모멘트,moment_of_inertia]]
통계학에서
1차적률 [[평균,mean,average]]
2차적률 [[분산,variance]]
3차적률 [[왜도,skewness]]
4차적률 [[첨도,kurtosis]]
$n$ 차 적률의 정의는, (언급이 없으면 c=0으로 간주)
 $\mu_n=\int_{-\infty}^{\infty}(x-c)^n f(x)dx$
보다시피,
평균 E(X)는 n=1, c=0인, 1차 적률.
분산 V(X)는 n=2, c=(평균)인, 2차 적률.
----
[[적률생성함수,moment_generating_function,MGF]]
{
AKA '''모멘트생성함수, moment generating function, mgf'''

----
Bmks

https://bluehorn07.github.io/mathematics/2021/04/13/momemtum-generating-function.html
https://freshrimpsushi.github.io/posts/moment-generating-function/

----
tmp from http://blog.naver.com/mykepzzang/220846464280
and Namu so CHK
{
특정 [[확률분포,probability_distribution]]의 적률을 생성하는 함수.
[[적률,moment]]은 물리의 [[모멘트,moment]]에서 가져온 개념.

확률변수의 적률(모멘트).............
[[확률변수,random_variable]] 혹은 확률분포의 $n$ 차 적률 혹은 $n$ 차 모멘트란, 확률변수를 n번 거듭제곱한 것의 [[기대값,expected_value]].
 $\mu_n=\mathbb{E}[X^n]$
'''적률생성함수'''는 이 적률을 계수로 갖는 [[급수,series]].
 $M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]$

만약 위 기대값이 $t=0$ 근방에서 수렴한다면, 다음처럼 급수전개가 가능함을 증명할 수 있다고. (다만 확률변수 $e^{tX}$ 가 $t=0$ 근방에서 적분가능해야 의미가 있음)
 $M_X(t) = \mathbb{E}\left[\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(tX)^k}{k!}\right] = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k}{k!} \mathbb{E}[X^k]$
따라서 [[테일러_정리,Taylor_theorem]]에 의해 $\mu_n = M^{(n)}(0)$ 을 얻을 수 있다 함.



TBW
무게중심, 아니 [[질량중심,mass_center]]과?

Compare:
 [[결합적률생성함수,joint_moment_generating_function,joint_MGF]]

----
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338144&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 적률생성함수]]
https://everything2.com/title/Moment+Generating+Function
[[Namu:적률생성함수]]

Up: [[적률,moment]] [[생성함수,generating_function]]
}

Sub: 결합적률생성함수 joint mgf [[결합적률생성함수,joint_moment_generating_function,joint_MGF]]
{
'''결합적률생성함수, joint moment generating function, joint mgf'''

http://blog.naver.com/mykepzzang/221054595788

from Namu:적률생성함수
{
[[확률변수,random_variable]] $X$ 가 다음과 같은 다변수확률변수일 경우,
 $X=(X_1,X_2,\cdots,X_n)$
적률생성함수의 [[테일러_급수,Taylor_series]]는 [[결합적률,joint_moment]]
 $\mu_{(k_1,k_2,\cdots,k_n)}=\mathbb{E}[X_1^{k_1},X_2^{k_2},\cdots,X_n^{k_n}]$
을 나타냄.

[[연속확률분포,continuous_probability_distribution]]의 경우, '''mgf'''는 확률분포함수([[확률분포,probability_distribution]])의 [[라플라스_변환,Laplace_transform]]이라고.

Cmp: [[적률생성함수,moment_generating_function,MGF]]

Up: [[결합,joint]] [[적률,moment]] [[생성함수,generating_function]]
}


}

}

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'''[[모멘트,moment]]'''와 이름이 같음. QQQ 관계?

일차모멘트=일차적률: [[질량중심,mass_center]] - curr goto [[질량,mass#s-7]]
''TODO 아래 내용 [[질량중심,mass_center]], 혹은 first_moment 혹은 moment([[모멘트,moment]] or [[적률,moment]]?) 중 적당한 곳으로 옮기거나 정리.''
{
시소(seesaw)에서, [[질량,mass]]이 각각 $m_1,m_2$ 인 물체가 시소 중심으로부터 각각 왼쪽으로 $d_1,$ 오른쪽으로 $d_2$ 인 [[거리,distance]] 인 지점에 있다면 평형을 이루기 위한 필충조건은
 $m_1d_1=m_2d_2$
QQQQ증명

점질량이 $m_1,m_2$ 인 물체가 각각 위치 $x_1,x_2(x_1<x_2)$ 에 있으면 '''질량중심''' $x_{\rm cm}$ 은 위 식에 따라
 $m_1(x_{\rm cm}-x_1)=m_2(x_2-x_{\rm cm})$
$x_{\rm cm}$ 에 대해 정리하면
 $x_{\rm cm}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}$

일반적으로 $n$ 개의 질량 $m_1,\cdots,m_n$ 이 각각 $x_1,\cdots,x_n$ 에 놓여 있을 때 '''질량중심'''은
 $x_{\rm cm}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_nx_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}$
 여기서 분자의 식 : '''일차능률(first moment)'''
 분모 : 전체 질량

(질량중심) = ('''일차능률''') / (전체 질량)

단위길이당 질량인 [[밀도,density]] $\rho(x)$ 인 물질이 [[위치,position]] $x=a$ 부터 $x=b$ 까지 [[길이,length]] $L$ 인 곳에 펼쳐져 있을 때,
밀도가 상수 $\rho$ 이면, 질량 $m=\rho L$ 이다.
밀도가 변하면, [[구간,interval]] $[a,b]$ 를 같은 크기의 $n$ 개로 나누어 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ 이라 하고, 각 소구간과 그 안의 한 점 $[x_{i-1},x_i]\ni c_i$ 이 있으면
$i$ 번째 조각의 질량은 $\rho(c_i)\Delta x$ 이고
이 계의 ''이산적(?)'' '''일차능률'''은
 $M_n=[\rho(c_1)\Delta x]c_1+[\rho(c_2)\Delta x]c_2+\cdots+[\rho(c_n)\Delta x]c_n$
 $=[c_1\rho(c_1)+c_2\rho(c_2)+\cdots+c_n\rho(c_n)]\Delta x$
 $=\sum_{i=1}^{n}c_i\rho(c_i)\Delta x$
''연속적(?) 일차능률은'' 극한을 취하면
 $M=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}c_i\rho(c_i)\Delta x=\int_a^b x\rho(x)dx$
물체의 질량중심은
 $x_{\rm cm}=\frac{M}{m}=\frac{\textstyle\int_a^b x\rho(x)dx}{\textstyle\int_a^b \rho(x)dx}$

''from https://blog.naver.com/dydrogud22/220065026152 chk''
----

Up: [[질량,mass]]
}

= Bmks ko =
수리통계학에서의 기대값, 평균, 분산, 적률의 정의 https://freshrimpsushi.github.io/posts/expectation-mean-variance-moment/ - 중간쯤에 적률 정의

----
Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3405290&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 적률]] - read!!
https://mathworld.wolfram.com/Moment.html

Up: [[통계,statistics]]