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AKA: Table of integrals
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= 중요 적분 공식 =
== 매우 쉬운 ==
$\int x^a dx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C$

$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$

$\int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+C$

$\int\sec^2 xdx=\tan x+C$

$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\sin^{-1}x+C$

$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\tan^{-1}x+C$

$\int\sin x dx=-\cos x+C$

$\int\cos x dx=\sin x+C$
$\int \cos ax dx = \frac1a \sin ax + C$

$\int e^{ax}dx=\frac{e^{ax}}{a}+C$

$\int\ln x dx=x\ln x-x+C$

$\int\sinh xdx=\cosh x+C$
$\int\cosh xdx=\sinh x+C$


== 알아야 할 것 ==
$\int\tan x dx = -\ln|\cos x|+C$
$\int\tan x dx = \ln|\sec x|+C$

$\int\csc x dx=\ln|\csc x-\cot x|+C$
$\int\csc xdx=-\ln|\csc x+\cot x|+C$ ([[http://red-ruby.com/wiki/wiki.php/csc_x_%EC%A0%81%EB%B6%84_%EC%A6%9D%EB%AA%85|증명]])

$\int\sec x dx=\ln|\sec x+\tan x|+C$

$\int\cot x dx=\ln|\sin x|+C$

= 역도함수 공식 (k는 0이 아닌 상수) =
''앞부분 생략.''
||함수 ||일반적인 역도함수 ||
||$e^{kx}$ ||$\frac1ke^{kx}+C$ ||
||$\frac1x$ ||$\ln|x|+C,\;x\ne 0$ ||
||$\frac1{\sqrt{1-k^2x^2}}$ ||$\frac1k\sin^{-1}kx+C$ ||
||$\frac1{1+k^2x^2}$ ||$\frac1k\tan^{-1}kx+C$ ||
||$\frac1{x\sqrt{k^2x^2-1}}$ ||$\sec^{-1}kx+C,\;kx>1$ ||
||$a^{kx}$ ||$\left(\frac1{k\ln a}\right) a^{kx} + C,\; a>0,\; a\ne 1$ ||
from Thomas 13e ko p218

= ... =

$\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$  (a>0) - 조건 필요?

$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\sin^{-1}\frac{x}{a}+C$ (a>0) - Stewart p471에 a>0 있어서 넣음

$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\operatorname{arcsinh}\frac{x}{a}+C$

$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\operatorname{arccosh}\frac{x}{a}+C$

$\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}=\frac1a\sec^{-1}\left|\frac{x}{a}\right|+C,\quad a>0$

----

$\int\tanh x dx=\ln\cosh x+C$

$\int\coth x dx=\ln|\sinh x|+C$

= 미분에서 쉽게 유추할 수 있는 것 =
즉 왼쪽 패턴이 보인다면 쉽게 적분 가능한 것

||$f(x)$       ||$\int f(x)$ ||
||$e^x$        ||$e^x+C$ ||
||$\sin x$     ||$-\cos x+C$  ||
||$\cos x$     ||$\sin x+C$   ||
||$\sec^2x$    ||$\tan x+C$  ||
||$\csc^2x$    ||$-\cot x+C$  ||
||$\sec x\tan x$ ||$\sec x+C$ ||
||$\csc x\cot x$ ||$-\cot x+C$ ||
||$\frac1x\;(x>0)$ ||$\ln x+C$ ||
||$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ ||$f(x)g(x)+C$ ||
## 이하 from Stewart
||$b^x$ ||$\frac{b^x}{\ln b}+C$ ||
||$\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ ||$\sin^{-1}x+C$ ||
||$\frac1{1+x^2}$ ||$\tan^{-1}x+C$ ||
||$\cosh x$ ||$\sinh x+C$ ||
||$\sinh x$ ||$\cosh x+C$ ||
## 이하 from Thomas
||$\sin kx$ ||$-\frac{\cos kx}{k}+C$ ||k는 0이 아닌 상수 ||
||$\cos kx$ ||$\frac{\sin kx}{k}+C$ ||k는 0이 아닌 상수 ||
## 이하 4개 from 이춘호 p54, CHK
||$\frac1{\sqrt{1+x^2}}$  ||$\sinh^{-1}x+C$ || ||
||$\frac1{\sqrt{x^2-1}}$  ||$\cosh^{-1}x+C$ ||x>1 ||
||$\frac1{1-x^2}$         ||$\tanh^{-1}x+C$ ||-1<x<1 ||
||$\frac1{x\sqrt{1-x^2}}$ ||$-\operatorname{sech}^{-1}x+C$ ||0<x<1 ||

Stewart, Table of Integration Formulas 에서, 17 18 19 20번. +C 생략.

$\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac1{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$
$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\;\;a>0$
$\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|$
$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|$


Sub: [[삼각함수_적분표]]

Ref:
https://librewiki.net/wiki/적분표
Google:적분표
https://en.wikipedia.org/wiki/Lists_of_integrals

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