$\operatorname{d}f$ : '''total differential''' of $f$
 $\operatorname{d}f(x,y,\cdots)=\frac{\partial f}{\partial x}\operatorname{d} x+\frac{\partial f}{\partial y}\operatorname{d}y+\cdots$

from ISO 80000-2 https://people.engr.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf#page=23

----
간단한 2변수인 경우
 $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$
는 그림으로 이해할 수 있다.
https://i.imgur.com/9ge79lZ.png
from https://youtu.be/pgssBtVjz2M?t=142

----
미분가능한 일변수함수 $y=f(x)$ 에 대해 [[미분,differential]] $dx$ 를 [[독립변수,independent_variable]]로 정의한다.
즉 $dx$ 는 임의의 실수로 주어질 수 있다.
이 때 $y$ 의 미분을 다음과 같이 정의한다.
 $dy=f'(x)dx$

미분가능한 이변수함수 $z=f(x,y)$ 에 대해 미분 $dx$ 와 $dy$ 를 독립변수로 정의한다.
즉 $dx$ 와 $dy$ 는 임의의 값으로 주어질 수 있다.
그러면 미분 $dz$ 는 다음과 같이 정의되고, 이것을 '''전미분'''(total differential)이라 한다.
 $dz=f_x(x,y)dx + f_y(x,y)dy = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$
때때로 기호 $dz$ 대신 $df$ 를 이용하기도 한다.

(Stewart 8e ko p773)

$w=f(x,y,z)$ 이면, 미분 $dw$ 는 독립변수인 미분 $dx,dy,dz$ 로 다음과 같이 정의한다.
 $dw=\frac{\partial w}{\partial x}dx + \frac{\partial w}{\partial y}dy + \frac{\partial w}{\partial z}dz$

(Stewart 8e ko p775)

----
$u=f(x,y)$ 에서
변수 $x$ 가 $x$ 에서 $x+\Delta x$ 로
변수 $y$ 가 $y$ 에서 $y+\Delta y$ 로 변하면
함수값 $u$ 의 변화량 $du$ ('''전미분''')은
 $du=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy$

'''전미분'''이 0이면 함수값은 상수값을 가진다.
 $df(x,y)=0$
이면
 $f(x,y)=C.$

[[완전미분방정식,exact_differential_equation]] 이해에 필요.
{
$M(x,y)dx+N(x,y)dy$ 가 어떤 함수 $f(x,y)$ 의 [[전미분,total_differential]]과 같으면, 즉
 $\frac{\partial f}{\partial x}=M(x,y),\,\frac{\partial f}{\partial y}=N(x,y)$
이면
 $M(x,y)dx+N(x,y)dy$ : 완전하다(exact)
 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ : 완전미분방정식

 $df=M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
이것의 [[해,solution]]는
 $f(x,y)=\text{const.}$

완전미분방정식 판별법 tbw

## 이종광 http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1215229 5-1 15m
}
## 이종광 http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1215229 5-1 9m-

----
함수 $u(x,y)$ 가 연속인 편도함수를 가지면 그것의 [[미분,differential]] 또는 '''전미분'''(total differential)은
 $du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$
이다.

1계 [[상미분방정식,ordinary_differential_equation,ODE]]
 $M(x,y)+N(x,y)y'=0,\; dy=y'dx$
i.e.
 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ ......(1)
에서 [[미분형식,differential_form]] $M(x,y)dx+N(x,y)dy$ 가 [[RR:완전미분exact_differential]], 즉 이 형식이 어떤 함수 $u(x,y)$ 의 미분
 $du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$ ......(2)
이면, 이 상미분방정식을 [[완전미분방정식,exact_differential_equation]]이라고 부른다.
그러면 식 (1)은
 $du=0$
으로 쓸 수 있고, 적분하면 바로 식 (1)의 일반해를
 $u(x,y)=c$
형태로 얻는다. 이 해를 (앞서 언급된 양함수해(explicit solution)와 구별하여) 음함수해(implicit solution)라 부른다.

식 (1), (2)를 비교하면, 만약 적당한 함수 $u(x,y)$ 가 존재해서
 $\frac{\partial u}{\partial x}=M,$ 
 $\frac{\partial u}{\partial y}=N$ ......(4)
이렇게 된다면, 식 (1)이 완미방(exact DE)임을 알 수 있다. 이걸로부터 다음과 같이 식 (1)이 exact DE인지 여부를 검증하는 공식을 유도할 수 있다.

$xy$ 평면에서 자체적으로 교차하는 점이 없는 닫힌 곡선을 경계로 갖는 닫힌 영역에서 $M,N$ 이 연속이고 연속인 1계편도함수를 갖는다고 하자. 그러면 식 (4)를 편미분하면
 $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y\partial x},$
 $\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}$
이고 연속성의 가정에 의해 두 2계편도함수는 서로 같다. 따라서
 $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$
이다. 이 조건은 식 (1)이 완미방이 되기 위한 필요충분조건이다.

식 (1)이 완미방이면, 다음 방법에 의해 함수 $u(x,y)$ 를 구할 수 있다. 식 (4a)로부터 $x$ 에 대해 적분하여
 $u=\int Mdx+k(y)$ ......(6)
여기서 $y$ 는 상수로 간주되어야 하고 $k(y)$ 는 적분상수 역할을 한다. $k(y)$ 를 결정하려면 식 (6)에서 ∂u/∂y를 이끌어 내고, 식 (4b)에서 $dk/dy$ 를 구한 다음, $dk/dy$ 를 적분하여 $k$ 를 얻는다.
마찬가지로 식 (4b)에서 $y$ 에 대해 적분하여
 $u=\int Ndy+l(x)$
$l(x)$ 를 결정하기 위해서는 ∂u/∂x를 이끌어 내고, 식 (4a)를 써서 $dl/dx$ 를 구한 다음 적분한다.

(Kreyszig)
''[[미분방정식,differential_equation]] 앞부분(1.4)에서 언급된 것 요약.''
----
이변수 연속 함수 $u=u(x,y)$ 에서
 ....
아무튼 그래서 '''total differential''' of $u:$
 $du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$
'''principal part in the change in $u$'''로 불리기도 한다고.



그리고 [[미분연산자,differentiation_operator]] 얘기도 나오는데,
위 전미분 식에서 $dt$ 를 나누면
 $\frac{du}{dt}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

그래서 이변수연속함수의 미분연산자는 이렇게된다??
 $\frac{d\spadesuit}{dt}=\frac{\partial \spadesuit}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \spadesuit}{\partial y}\frac{dy}{dt}$


http://www.math.odu.edu/~jhh/Volume-1.PDF p159-160

----
TBW, MKLINK

[[완전미분,exact_differential]] (curr at [[미분,differential#s-12]])
[[완전미분방정식,exact_differential_equation]]

----

Twins:
[[WpEn:Total_differential]] redir. to [[WpEn:Differential_of_a_function#Differentials_in_several_variables]]
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=1139534&cid=40942&categoryId=32220 두산백과: 전미분 total differential]]
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5669200&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 전미분]] (hard)
https://planetmath.org/totaldifferential (Synonym: exact differential)
https://mathworld.wolfram.com/TotalDifferential.html (자체 내용은 없고 다른 페이지 링크, exact differential 포함)

Up:
 [[미분,differential]]
 [[RR:미분,differential]]

Compare:
 [[RR:전미분,total_derivative]] (MERGE?)
 [[전미분,total_derivative]]
 '''전미분'''을 일반화한 게 [[미분형식,differential_form]]? chk