## 적분,integration 에서 옮겨온 내용
'''정적분'''은 [[리만_합,Riemann_sum]]의 [[극한,limit]]으로 정의.

표기와 용어
 $\int_a^b f(x)dx$
에서,
 ∫ : integral sign (적분기호)
 f(x) : integrand (피적분함수)
 x : variable of integration
 a, b : limits of integration (적분한계)
  a : lower limit (하한)
  b : upper limit (상한)

[[곡선,curve]] 밑의 [[넓이,area]](다만 그냥 넓이가 아닌 [[부호,sign]]가 있는 넓이)나
입체의 [[부피,volume]] 등을 구할 때 자주 쓰임

(일반화?) 그리하여 [[측도,measure]]와 [[가측성,measurability]]에 밀접

역사적으로 [[구분구적법,measuration_by_parts]]에서 출발??
 QQQ measuration 말고 mensuration? 아님 둘 다? WtEn:mensuration Google:measuration Google:구분구적법
[[구적법,quadrature]] WpKo:구적법 : 정적분 값을 근사하는 방법

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[[TableOfContents]]

= 정적분의 정의 =
## 미적분,calculus 에서 옮겨온 내용

함수 $f(x)$ 가 구간 $[a,b]$ 에서 연속일 때,
구간을 $n$ 등분 하여 양 끝점과 각 분점의 $x$ 좌표를 차례로
 $a=x_0,x_1,\cdots,x_{n-1},x_n=b$
각 소구간의 길이는
 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$
 $x_k=a+k\Delta x\quad(k=0,1,\cdots,n)$
이 때
 $S_n=f(x_1)\Delta x+f(x_2)\Delta x+\cdots+f(x_k)\Delta x+\cdots+f(x_n)\Delta x$
  $=\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x$
이면 극한값 $\lim_{n\to\infty}S_n$ 은 항상 존재하며, 이 극한값을 
 함수 $f(x)$ 의 $a$ 에서 $b$ 까지의 '''정적분'''
이라 하고
 $\int_a^bf(x)dx$
로 나타냄

여기서 
 a, b는 각각 '''아래끝, 위끝''',
 구간 $[a,b]$ : 적분 구간,
 $f(x)$ : 피적분함수,
 $x$ : 적분변수

$\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k)\Delta x$
 $\left(\Delta x=\frac{b-a}{n},x_k=a+k\Delta x\right)$

$\int_a^{b}f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}\cdot k)\cdot\frac{b-a}{n}$

https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20%5Cint_a%5E%7Bb%7Df%28x%29dx%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7Df%28a+%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D%5Ccdot%20k%29%5Ccdot%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D?.gif

이상 고등학교식 정의의고 사실은 구간을 균일하게 [[분할,partition]]하지 않아도 됨. 그 정의는 [[리만_합,Riemann_sum]] 참조.

= 미적분학의 기본정리에서 정적분 값 구하는 공식 이끌어내기 =
함수 $F(x),f(x)$ 가
 $\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$
를 만족하면, [[미적분학의기본정리,FTC]]에서
 $\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)$ 즉
 $\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt-\frac{d}{dx}F(x)=0$
이므로 모든 $x$ 에 대해
 $\frac{d}{dx}\left[\int_a^xf(t)dt-F(x)\right]=f(x)-f(x)=0$
이다. 도함수가 0인 함수는 상수함수이므로
 $\int_a^xf(t)dt-F(x)=C$
이다. $x=a$ 를 대입하면 $-F(a)=C$ 임을 알 수 있으므로
 $\int_a^xf(t)dt=F(x)-F(a)$

정리: 함수 $f(x)$ 가 구간 $[a,b]$ 에서 연속이고 $F(x)$ 가 $f(x)$ 의 역도함수이면 다음이 성립.
> $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=\left[F(x)\right]_a^b=\left.F(x)\right|_a^b$


= 두 곡선 사이의 넓이 =
두 곡선 $y=f(x),y=g(x)$ 와 두 직선 $x=a,x=b$ 로 둘러싸인 영역의 넓이:
 $\int_a^b\left|f(x)-g(x)\right|dx$

= 회전체의 부피 =
[[구간,interval]] $[a,b]$ 에서 [[곡선,curve]] $y=f(x)$ 를 $x$ 축의 둘레로 회전하여 생기는 회전체의 [[부피,volume]]:
 $\int_a^b\pi y^2 dx=\pi\int_a^b\left(f(x)\right)^2dx$

== 구의 부피 공식 유도 ==
반지름이 r인 [[구,sphere]]의 [[부피,volume]] V는,
$V=\int_{-r}^{r} \pi\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2 dx$
 $=\int_{-r}^{r} \pi(r^2-x^2)dx$
 $=2\pi\int_0^r (r^2-x^2)dx$
 $=2\pi\left[ r^2 x - \frac13 x^3 \right]_0^r$
 $=\frac43\pi r^3$

= 회전체의 겉넓이 =
미분가능한 함수 $y=f(x),\;a\le x\le b$ 을 $x$ 축 주위로 회전하여 생긴 회전체의 겉넓이:
 $\int_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx=\int_a^b2\pi yds$
TODO s등에 대한 설명이 부족함.. 길이함수
 $s(t)=\int_a^t\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$ 를 이용하면, 즉
 $ds=\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$ 를 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다는데.
 $S=\int_a^b2\pi f(x)ds$
CLEANUP
## 서울대기초수학학습교재 p282

= Numerical methods for definite integrals =
left rule
right rule
midpoint rule
trapezoid rule
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Approximate Integration 정적분의 근사값 계산 later related to [[근사,approximation]]
subinterval
하합 lower sum/상합 upper sum/midpoint rule 중점법
 QQQ lower/upper sum은 함수가  그 구간의 최소/최대일 때를 취한?
trapezoidal rule (사다리꼴) 을 만들어 근사, 즉 직선을 만들어 근사
 [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405141&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 사다리꼴 공식]]
Simpson's rule 이차[[다항식,polynomial]]을 만들어 근사
 [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405199&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 심프슨 공식]]
Hermite's rule
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사다리꼴 공식 or 사다리꼴 규칙(trapezoidal rule), 포물선 공식, Simpson's rule .. 
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fork to [[수치적분,numerical_integration]] - curr at [[수치해석,numerical_analysis]]

ALSOIN [[리만_합,Riemann_sum]]
= 다른 표기 alternative notations =
 $\int_a^b f(x)dx = \int_{[a,b]}f(x)dx=\left[F(x)\right]_a^b=\left.F(x)\right|_a^b$

= 정적분의 성질 =
적분 순서 ([[리만_합,Riemann_sum]]에서 각 Δx의 부호가 변하므로, 극한값의 부호도 변한다.)
 $\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx$
폭이 0인 구간
 $\int_a^a f(x)dx=0$
상수배
 $\int_a^b kf(x)dx=k\int_a^b f(x)dx$
합과 차
 $\int_a^b(f(x)\pm g(x))dx=\int_a^b f(x)dx\pm\int_a^b g(x)dx$
정적분의 가법성
 $\int_a^b f(x)dx+\int_b^c f(x)dx=\int_a^c f(x)dx$
최대-최소 [[부등식,inequality]] : 함수 $f$ 가 $[a,b]$ 에서 최대값 $\max f$ 와 최소값 $\min f$ 를 갖는다면
 $\min f\cdot (b-a)\le \int_a^b f(x)dx \le \max f \cdot (b-a)$
지배성
 $f(x)\ge g(x)\text{ on }[a,b] \;\Rightarrow\; \int_a^b f(x)dx\ge \int_a^b g(x)dx$
 특별한 경우
 $f(x)\ge 0\text{ on }[a,b] \;\Rightarrow\; \int_a^b f(x)dx\ge 0$
(Thomas 13e ko p255밑-257)
= 짝함수(우함수)의 정적분 / 홀함수(기함수)의 정적분 =
의 계산을 간단하게 할 수 있는 방법

$f$ 가 $[-a,a]$ 에서 연속일 때

짝함수(우함수)인 $f$ 의 정적분 :
 $\int_a^{-a} f(x)dx=2\int_0^a f(x)dx$

홀함수(기함수)인 $f$ 의 정적분 :
 $\int_a^{-a} f(x)dx=0$

= 기타 =
정적분으로 함수 $f$ 의 평균을 계산할 수 있음.
함수 f가 구간 $[a,b]$ 에서 적분가능하면, 그 구간에서 평균값은
 $\frac1{b-a}\int_a^b f(x)dx$
See [[평균,mean,average]]

이것은 정적분의 [[평균값정리,mean_value_theorem,MVT]]와도 밀접. 여기서도 또 서술하자면,
$f$ 가 $[a,b]$ 위에서 연속이면, $[a,b]$ 내의 한 점 $c$ 가 존재하여 다음 식이 성립한다.
 $f(c)=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)dx$
## Thomas 13e ko p264

// tmp from https://m.blog.naver.com/cindyvelyn/222147098255 {
정적분의 일반화는 두 가지
 * 적분 구간이 x축이 아니라 곡선인 [[선적분,line_integral]]
 * 적분을 여러 번 하는 ''(...차원을 높인?)'' [[중적분,multiple_integral]]
// }
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Compare: [[부정적분,indefinite_integral]]

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[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338295&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 정적분]]

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