좌표계,coordinate_system

좌표,coordinate 와 내용 배분을 어떻게? pagerole

Sub:
orthogonal coordinate system (좌표축이 서로 수직인 좌표계. 직교좌표계라고 번역할 수 있으나 이 때는 rectangular(=Cartesian)하고 혼동하지 말아야 함.)
3D 직교좌표계,rectangular_coordinate_system (Cartesian) 좌표계,coordinate_system#s-2.1 (직각)
3D 원통좌표계,cylindrical_coordinate_system 좌표계,coordinate_system#s-2.2
3D 구면좌표계,spherical_coordinate_system 좌표계,coordinate_system#s-2.3 (구)
// 기타: 타원 원통, 포물선 원통, 원뿔, 편장구면, 편원구면, 타원형 (이게 다 뭐람.. from Sadiku)
nonorthogonal coordinate system (힘듦)
curvilinear coordinate 곡선좌표계 (curvilinear adj. 곡선으로 이루어진) WpEn:Curvilinear_coordinates WpKo:곡선좌표계 https://mathworld.wolfram.com/CurvilinearCoordinates.html
좌표계변환 or 좌표변환 좌표변환,coordinate_transformation
2D 극좌표계,polar_coordinate_system, 극좌표,polar_coordinate는 어디에 분류?

TBW: 왼손좌표계 오른손좌표계 ... 기저,basis#s-5에서 언급
2022-07-06 뜻
{
(오른손 좌표계)
네 손가락이 양의 x축에서 양의 y축 방향으로 감도록 오른손을 쥐면, 엄지손가락은 양의 z축 방향을 가리킨다.
z축의 양의 방향에서 xy-평면으로 내려다볼 때, 평면에서 양의 각,angle은 양의 x축에서 반시계방향으로 양의 z축을 중심으로 회전한 각으로 측정한다.

* 왼손 좌표계와 오른손 좌표계는 서로 다르다.
* 데카르트 좌표계는 오른손 좌표계이다.

(Thomas 13e ko chap10.1 3차원 좌표계 - 시작부분)
}


1. basic facts


일단 점을 P라 하고,
가운데에는 원점,영점,origin O(0,0)

축,axis.... 이름은 로마자 마지막 글자인
x축, y축, z축
원점에서 뻗어나감

거리,distance?
{
r - 원점에서부터 점 P까지의 거리
2D 좌표일 때: (0, 0)에서부터의 거리
3D 좌표일 때: (0, 0, 0)에서부터의 거리, 구의 반경
ρ
원점에서 뻗어나감

범위는 $[0,\infty)$
}

각,angle
{
θ (2D 극좌표에서)
φ (3D 원통, 구면 좌표에서)
azimuth, azimuthal angle, 방위각
x축으로부터 시작하여 처음에 y축 방향으로 향함. P의 xy평면 위의 (정사영? 그림자? 발?) 로 향함

θ (3D 구면 좌표에서)
천정각(zenith angle)
z축으로부터 시작, z축과 P의 위치벡터의 사이 각

방위각 φ 범위는 $[0,2\pi)$
천정각 θ 범위는 $[0,\pi]$ (파이를 포함해야 하는 것에 주의)
}

원통좌표계 (ρ, Φ, z)
{

}

구좌표계 (r, θ, Φ)
{
r
θ 천정각 zenith angle
Φ
}

2D에서는 사분면,quadrant .. 이름은 1~4사분면
3D에서는 팔분공간,octant

그래프,graph는 식을 만족하는 점,point집합,set
가령 이차원에서 $\left{(x,y)\middle|f(x,y)=0\right}$

영단어

axis 축
x-axis, horizontal axis
y-axis, vertical axis
axes 축들(axis의 복수형)
origin 원점
quadrant 사분면
quadrant I, quadrant II, quadrant III, quadrant IV
coordinate 좌표
ordered pair(순서쌍)로 나타남
abscissa 점의 x좌표
ordinate 점의 y좌표

2. 여러 가지 좌표계의 분류 시도


직교좌표계(rectangular coordinate system)
원통좌표계(cylindrical coordinate system) - cylinderical가 아니다.
구면좌표계(spherical coordinate system)



2D 평면,plane
2D 직교좌표계
2D 극좌표계
3D 공간,space
3D 직교좌표계
3D 극좌표계 - 원통? 원통+구면?
원통좌표계
구면좌표계

2D ordered pair 사분면,quadrant
3D ordered triple 팔분공간,octant WpEn:Octant_(solid_geometry)

fork to

2.1. 직교

직교좌표계,rectangular_coordinate_system
{
기호
2차원의 경우 $(x,y)$
3차원의 경우 $(x,y,z)$

원통좌표계,cylindrical_coordinate_system(ρ, φ, z)에서 직교좌표계로 변환
$x=\rho\cos\phi$
$y=\rho\sin\phi$
$z=z$

구면좌표계,spherical_coordinate_system(r, θ, φ)에서 직교좌표계로 변환
$x=r\sin\theta\cos\phi$
$y=r\sin\theta\sin\phi$
$z=r\cos\theta$

AKA 카테시안 좌표계, 데카르트 좌표계, Cartesian coordinate system, 직각좌표계
Twins: WpEn:Cartesian_coordinate_system
}

2.2. 원통

원통좌표계,cylindrical_coordinate_system
{
평면 극좌표계,polar_coordinate_system에 높이를 더한 것
한 축을 중심으로 대칭성을 갖는 경우에 유용

기호
(ρ, φ, z)
$(\rho,\phi,z)$

각 변수의 범위:
0 ≤ ρ < ∞
0 ≤ φ < 2π
-∞ < z < ∞
i.e.
$0 \le \rho < \infty$
$0 \le \phi < 2\pi$
$-\infty < z < \infty$

$x=\rho\cos\phi$
$y=\rho\sin\phi$
$z=z$

$\rho=\sqrt{x^2+y^2}=\textrm{constant cylinder}$
$\phi=\tan^{-1}\left({y \over x}\right)=\textrm{constant plane}$
$z=\textrm{constant plane}$


변환

직교좌표계,rectangular_coordinate_system(x, y, z)에서 원통좌표계로 변환
$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$
$\phi=\tan^{-1}\frac{y}{x}$
$z=z$

구면좌표계,spherical_coordinate_system(r, θ, φ)에서 원통좌표계로 변환
TBW


$\hat{\rho}\cdot\hat{\rho}=\hat{\phi}\cdot\hat{\phi}=\hat{z}\cdot\hat{z}=1$
$\hat{\rho}\times\hat{\rho}=\hat{\phi}\times\hat{\phi}=\hat{z}\times\hat{z}=0$

right-handle cyclic relations of base unit vectors
$\hat{\rho}\times\hat{\phi}=\hat{z}$
$\hat{\phi}\times\hat{z}=\hat{\rho}$
$\hat{z}\times\hat{\rho}=\hat{\phi}$

from Ulaby 5e; r을 rho로 바꿈; CHK



AKA 원주좌표계
Twins:
}

2.3. 구면

구면좌표계,spherical_coordinate_system
{
구,sphere대칭 구조를 다룰 때 적합

기호
(r, θ, φ)
$(r,\theta,\phi)$

r: 거리, (원점에 중심을 둔 구의) 반경(=반지름, radius)
θ: 천정각(zenith angle), z축과 P의 위치벡터(r) 사이의 각
φ: 방위각(azimuth), x축으로부터 측정되는 각

0 ≤ r < ∞
0 ≤ θ ≤ π
0 ≤ φ < 2π

θ는 z축부터의 각도이며,
0≤θ≤π 인가? Yes.
0≤φ≤2π ? <2pi.

θ가 일정하면 conical surface? CHK

https://i.imgur.com/Hc720UZ.png


r radial distance
θ polar angle, zenith angle?
φ azimuthal angle

zenith=천정, azimuth=방위각.
θ는 위도,latitude
φ는 경도,longitude 와 비교됨??

원통좌표계에서 알아봤듯 다음이 성립함
$x=\rho\cos\phi$
$y=\rho\sin\phi$
그리고
$\rho=r\sin\theta$
임 CHK
그래서 구면좌표계에서는 ,
$x=\rho\cos\phi=r\sin\theta\cos\phi$
$y=\rho\sin\phi=r\sin\theta\sin\phi$
$z=r\cos\theta$

구면좌표계로 변환

직교좌표계,rectangular_coordinate_system(x, y, z)에서 구면좌표계로 변환
$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
$\theta=\tan^{-1}\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}=\cos^{-1}\frac{z}{r}$
$\phi=\tan^{-1}\frac{y}{x}$

$\theta=\cos^{-1}\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ CHK (4-22 at [https]src)

원통좌표계,cylindrical_coordinate_system(ρ, φ, z)에서 구면좌표계로 변환
$r=\sqrt{\rho^2+z^2}$
$\theta=\tan^{-1}\frac{\rho}z=\cos^{-1}\frac{z}{\sqrt{\rho^2+z^2}}$
$\phi=\phi$

구면좌표계에서 변환

(주의: 여기선 r대신 rho 사용)
구면좌표,spherical_coordinate $(\rho,\theta,\phi)$직교좌표,rectangular_coordinate $(x,y,z)$ 로 변환
$x=\rho\sin\phi\cos\theta$
$y=\rho\sin\phi\sin\theta$
$z=\rho\cos\phi$
또한
$x^2+y^2+z^2=\rho^2$
$dV=(\rho\sin\phi d\theta)(\rho d\phi)(d\rho)=\rho^2 \sin\phi d\rho d\theta d\phi$
from https://www.youtube.com/watch?v=0Ymw20wa5Ys

구면좌표,spherical_coordinate ()를 원통좌표,cylindrical_coordinate ()로 변환
$\rho=$
$\phi=$
$z=$


구면좌표계의 미소체적/미소부피

$dV=(dr)(rd\theta)(\rho d\phi)$
$=(dr)(rd\theta)(r\sin\theta d\phi)$
$=r^2\sin\theta dr d\theta d\phi$

부피는 삼중적분
$V=\iiint_V dV=\iiint_V r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi$

from '부피의 미분소' See 4-23 and 그림4-10 at [https]src

from Ulaby 5e 3-2.3
r, theta, phi obey the following right-hand cyclic relations:
$\hat{r}\times\hat{\theta}=\hat{\phi}$
$\hat{\theta}\times\hat{\phi}=\hat{r}$
$\hat{\phi}\times\hat{r}=\hat{\theta}$


AKA 구좌표계

Twins:
WpKo:구면좌표계
}



3. basics, 기호

Stewart? Ulaby
rectangular x y z x y z
cylindrical ρ φ z r φ z
spherical r θ φ R θ φ


거리는 크기, 각은 방향
rect 크기 크기 크기
cyli 크기 방향 크기
sphe 크기 방향 방향
왜 이걸 제때 알려주지 않지?

Ulaby 5e에 따르면
ρ : radial distance (in the x-y plane)
φ : azimuth angle (measured from the positive x-axis)
r : range coordinate, 구의 반지름
θ : zenith angle (measured from the positive z-axis; describes a conical surface with its apex(꼭대기/정점) at the origin)


see WpEn:Orthogonal_coordinates#Table_of_orthogonal_coordinates
Google:scale.factor coordinate
scale factor는
h1 h2 h3
rect 1 1 1
cyli 1 r 1
sphe 1 r rsinθ
근데 주의!! 가운데 단 하나만 다른 (r -> rho)
h1 h2 h3
rect 1 1 1
cyli 1 ρ 1
sphe 1 r rsinθ
것도 있는데, 이건 또 뭔지... src: 전기자기학04.pdf
{
$d\vec{L}=\hat{L}dL$
$=dx   \hat{x}+dy          \hat{y     }+dz\hat{z}$ (직각)
$=d\rho\hat{r}+\rho d\phi  \hat{\phi  }+dz\hat{z}$ (원통)
$=dr   \hat{r}+r    d\theta\hat{\theta}+r\sin\theta d\hat{\phi}$ (구)
// 이 파일이 좀 ... 표기가(문자선택이)... 그런듯 2행 1열 r이 rho의 오타인지도 불확실
x y z
r φ z
r θ φ ????
}
CHK


델,del,나블라,nabla#s-2#(여러 좌표계에서) 에도 같은 내용 있음


4. 관련 표현

직교하는(orthogonal, perpendicular)


5. 2차원 직교좌표계 (x, y)

가로축 = 횡축 = abscissa = horizontal axis = x axis
세로축 = 종축 = ordinate = vertical axis = y axis

(?) 위에 chk... 암튼 Thomas에 의하면, 저건 x/y좌표라는데?
x-coordinate = abscissa
y-coordinate = ordinate
그리고 2D 좌표계는 원점,origin을 중심으로 두 축,axis에 의해 네 면 - 1~4 사분면,quadrant으로 나뉨.

6. 2차원 극좌표계 (r, θ)


성질

(a, α) = (a, 2nπ+α) = (-a, 2nπ+π+α)
$(a,\alpha)=(a,2n\pi+\alpha)=(-a,2n\pi+\pi+\alpha)$




}



7. 3차원 직교좌표계

8. 원통좌표계

9. 구면좌표계

q: 원통,구면 두개가 극좌표계?


10. 좌표 변환 coordinate transformation


10.1. 2차원 (평면) 좌표 변환


10.2. 3차원 (공간) 좌표 변환


10.2.1. 직교 ↔ 원통 변환


3:3 이 아니라 2:2 mapping이다.
$x+iy=\rho e^{i\phi}$

$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$
$\phi=\tan^{-1}\frac{y}{x}$

$x=\rho\cos\phi$
$y=x\sin\phi$

$\hat{\rho},\hat{\phi}$ 는 위치마다 변하는 단위벡터란다 (?)
바로 아래 unit vector 표기 생략되어있음
$\vec{a_\rho}\cdot\vec{a_x}=\cos\phi$
$\rho\cdot y = \cos(\frac{\pi}{2}-\phi)=\sin\phi$
$\rho\cdot z=0$
$\rho\cdot x = \cos(\frac{\pi}{2}+\phi)=-\sin\phi$
$\rho\cdot y=\cos\phi$
...........이것들은 복잡하므로 내적표를 만든다.........
· $\vec{x}$ $\vec{y}$ $\vec{z}$
$\vec{\rho}$ $\cos\phi$ $\sin\phi$ $0$
$\vec{\phi}$ $-\sin\phi$ $\cos\phi$ $0$
$\vec{z}$ $0$ $0$ $1$
코 사 마사 코
코 싸 마싸 코

이상 [http]src 1강 뒷부분; CHK

CLEAN
{
(x, y, z)
(ρ, φ, z)

z는 그대로다. 2:2 mapping이다..

A = x+jy = ρe
로 변환할 수 있다 카더라....

$\rho=\sqrt{x^2+y^2},\; \phi=\tan^{-1}\frac{y}{x}$
$x=\rho\cos\phi,\; y=x\sin\phi$
인지 chk

좌표 변환에 쓰이는 벡터 내적 표
· x y z
$\rho$cos sin 0
$\phi$-sin cos 0
z 0 0 1
? CHK
}

10.2.1.1. 직교→원통, (x,y,z)→(ρ,Φ,z)

$(x,y,z)\to(\rho,\phi,z)$

==== 원통 → 직교 (ρ,Φ,z)→(x,y,z)====
$(\rho,\phi,z)\to(x,y,z)$

10.2.2. 직교 ↔ 구면 변환


· $\vec{x}$ $\vec{y}$ $\vec{z}$
$\vec{r}$ $\sin\theta\cos\phi$ $\sin\theta\sin\phi$ $\cos\theta$
$\vec{\theta}$ $\cos\theta\cos\phi$ $\cos\theta\sin\phi$ $-\sin\theta$
$\vec{\phi}$ $-\sin\phi$ $\cos\phi$ $0$
CHK

10.2.2.1. 직교 → 구면

$(x,y,z)\to(r,\theta,\phi)$

10.2.2.2. 구면 → 직교

$(r,\theta,\phi)\to(x,y,z)$

10.2.3. 원통 ↔ 구면 변환

CLEAN
{
(ρ, φ, z)
(r, θ, φ)

φ는 그대로 두고 2:2 mapping이다..
}

10.2.3.1. 원통 → 구면

$(\rho,\phi,z)\to(r,\theta,\phi)$

10.2.3.2. 구면 → 원통

$(r,\theta,\phi)\to (\rho,\phi,z)$


11. 벡터미적분을 위한 좌표계의 디퍼렌셜, 미소xx

11.1. 직각좌표계에서는


미소길이/미소변위 $d\vec{\ell}$ (l: length)은 디퍼렌셜(스칼라)와 단위벡터의 곱의 합으로 나타남
$d\vec{\ell}=dx\hat{a_x}+dy\hat{a_y}+dz\hat{a_z}$

미소면적 $d\vec{s}$ (s: surface)은, 어느 평면에 평행하게 있느냐에 따라
$d\vec{s}$
$=dydz\hat{a_x}$ (yz평면에 평행할 경우)
$=dxdz\hat{a_y}$ (xz평면에 평행하고, 법선이 y축과 평행)
$=dxdy\hat{a_z}$
normal vector 방향은 체적에서 멀어지는 방향으로.
이렇게 법선단위벡터와 스칼라 두개씩의 결합으로 표현 가능

미소체적 $dv$ (v: volume) 는 벡터가 아니며
$dv=dxdydz$

11.2. 원통좌표계에서는


미소길이
$d\vec{\ell}=d\rho\hat{a_{\rho}}+\rho d\phi\hat{a_{\phi}} + dz\hat{a_z}$

미소면적
$d\vec{s}$
$=\rho\, d\phi\, dz\, \hat{a_{\rho}}$
$=d\rho\, dz\, \hat{a_{\phi}}$
$=\rho\, d\phi\, d\rho\, \hat{a_z}$

미소체적
$dv=d\rho\, \rho d\phi\, dz$
$=\rho\,d\rho\,d\phi\,dz$

11.3. 구면좌표계에서는


미소길이
$d\vec{\ell}=dr\hat{a_r} + rd\theta\hat{a_{\theta}} + r\sin\theta d\phi\hat{a_{\phi}}$

미소면적
$d\vec{s}$
$=\hat{a_r} r d\theta r\sin\theta$
$=\hat{a_{\theta}} dr r\sin\theta$
$=\hat{a_{\phi}} dr rd\theta$

미소체적
$dv=dr\,rd\theta\,r\sin\theta = r^2\sin\theta dr d\theta d\phi$


11.4. and

참고로 미소면적은 미소면적크기(스칼라) 곱하기 법선벡터
$d\vec{s}=ds\hat{a_n}$

면적 S가 벡터장,vector_field $\vec{A}$ 속에 있을 때
면적 S를 통한 $\vec{A}$면적분,surface_integral or 선속,flux
$\int_S\vec{A}\cdot d\vec{s}=\int_S\vec{A}\cdot\hat{a_n}ds=\int_S|\vec{A}| |\hat{a_n}| \cos\theta ds$
단위벡터의 길이는 1이므로
$=\int_S |\vec{A}| \cos\theta ds$

위의 내용은 S가 개곡면일 때 개곡면에 대한 면적분이고,
폐곡면이면..
$\oint_S \vec{A}\cdot d\vec{s}$ : S를 통해 나가는 순 선속 (net flux)

Q: 선속은 폐곡면의 면적분에서만 정의되나?

체적적분,volume_integral
체적 v에 대한 스칼라 $\rho_v$ 의 체적적분은
$\int_v \rho_v dv$

...이하 발산정리,divergence_theorem로 이어짐...
[https]src

12. 미소선분 dL

AKA 미소길이

$d\vec{L}=dx\hat{x}+dy\hat{y}+dz\hat{z}$

$d\vec{L}=d\rho \hat{\rho}+\rho d\phi \hat{\phi}+dz \hat{z}$

$d\vec{L}=dr \hat{r}+rd\theta \hat{\theta}+r\sin\theta d\phi \hat{\phi}$
CHK

[http]src ysi 4강 1:32
Next: see 전압,voltage#s-12(ysi)


13. 좌표계와, 행렬식, 고유벡터의 관계

Determinant and eigenvectors don't care about the coordinate system. ([https]1:24)

14. QQQ frame?

물리에서는 '좌표계(frame)'라는 표현이 등장하는데 이것과 coordinate system과의 관계가 정확히?


15. 김홍종; 이동예정

원통과 원기둥 중에 pagename TBD... 근데 kms cylindrical => https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=cylindrical 보면 원통과 원기둥이 혼재되어 쓰인다. 뭘로 하지...


원기둥좌표계

https://i.imgur.com/LacajAFm.png

삼차원 좌표공간에서 점 $P=(x,y,z)$ 에 대하여
$x=r\cos\theta$
$y=r\sin\theta$
$z=z$
를 만족시키는 값 $(r,\theta,z)$ 를 대응시키는 방법을 원기둥좌표계(cylindrical coordinate system)라고 부른다. 이것은 직교좌표계에서 $x,y$ 성분만 극좌표계,polar_coordinate_system로 바꾼 것이다. 이때 $r$$z$ 축과의 거리를 나타낸다.

Ex.
$r=1$ : 반지름의 길이가 1인 원기둥
$\theta=\pi/2$ : yz-평면

(김홍종 미적1+ p166)


구면좌표계

https://i.imgur.com/V5QRT38m.png

삼차원 좌표공간에서 점 $P=(x,y,z)$ 와 원점 $O$ 사이의 거리를 $\rho,$
선분 $OP$$z$ 축의 방향과 이루는 각의 크기를 $\varphi,$
$P$ 를 xy평면으로 정사영(사영,projection, curr. 사영,projection#s-4)한 점 $(x,y,0)$$P',$
선분 $OP'$ 이 x축의 방향과 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 하면,
$x=\rho\sin\varphi\cos\theta$
$y=\rho\sin\varphi\sin\theta$
$z=\rho\cos\varphi$
이다. 이 때
$(\rho,\varphi,\theta)$
구면좌표계(spherical coordinate system)라고 부르고,
$\theta$ 를 경도, // longitude ?
$\varphi$ 를 "천정의 방향과 이루는 각" 또는 천정각이라 한다. // zenith_angle ?

구면좌표계에서는 보통
$\rho \ge 0, \; 0\le\varphi\le\pi, \; 0\le\theta\le 2\pi$
또는
$\rho\ge 0, \; 0\le\varphi\le\pi, \; -\pi\le\theta\le\pi$
로 둔다.

Ex.
$\rho=1$ : 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 구면
$\rho\le 1$ : 공,ball
$\varphi=\pi/6$ : 원뿔각이 $2\varphi,$$\pi/3$ 인 원뿔면

(김홍종 미적1+ p167)