지수,exponentiation

거듭제곱
pagename - 거듭제곱 exponentiation / 지수 exponent 이렇게 할까? - no, 지수연산(지수계산?) exponentiation / 지수 exponent / 멱 power 는 어떨지? ('거듭제곱'은 너무 길다)
KmsE:exponent Ndict:exponent
KmsE:power Ndict:power
KmsK:멱 Ndict:멱
KmsK:지수 Ndict:지수
KmsK:거듭 - power, 멱, ... 대충 같은 개념이기는 하나 번역은 대체로 ( exp-지수, power-거듭제곱-멱 )인듯
Ndict:거듭제곱
exponent vs exponentiation 의미차 확실히. Ggl:exponent vs exponentiation Ggl:exponent exponentiation 차이 Ggl:exponent exponentiation difference Naver:exponent exponentiation 차이
WtEn:exponent
WtEn:exponentiation

표기:
bn
드물게 expb(n) $\exp_b n$
b^n, b↑n, b**n, etc. (← exponentiation_operator)
여기서,
b: 밑(base)
n: 지수(exponent)
결과: power
읽기:
b의 n제곱, b to the power of n, b raised to the power n, b to the n-th power

n이 음수면 b≠0 (밑은 0이 아닌 수로 제한됨)
n이 분수면 b>0 (밑은 양수로 제한됨)
지수가 확장될수록 밑은 제한됨. (CHK) (TBW: 어떻게 제한되는지 구체적으로)
(그냥 생각, del ok) 한 쪽으로 일반화,generalization/확장/...되면 다른쪽은 오히려 폭이 줄어드는/제한받는=제한,restriction이 생기는/모순contradiction이 생기는, 이런 본질적 구조,structure가 수학 여러 군데에 있는데 그 중 하나인지? - 예를 들어 실수,real_number를 (소위 '고차원적으로') 일반화시켜서 복소수 사원수 팔원수 십육원수 ....이렇게 갈수록 오히려 실수에서는 자연스러웠던 기본적인 성질(을 만족하지 않거나/이 성립하지 않거나/을 잃어버리거나/...) 그렇게 됨.
수리논리,mathematical_logic에서도 nth order logic이 숫자 n이 커질수록 앞의 것보다 더 일반적/확장/고차원이 되나, 오더,order가 낮았을 때 성립하던 이른바 '좋은 성질,property'이 없어지게(i.e. 성립하지 않는 경우가 생기게) 되는데....
n이 자연수,natural_number라면, 곱셈,multiplication을 반복한 것과 동일.
n이 정수,integer라면,
n이 유리수,rational_number라면,
n이 실수,real_number라면,
n이 복소수,complex_number라면.. 이렇게 확장 가능

함수에 적용하면 지수함수,exponential_function 또는 멱함수,power_function
둘의 차이는, x가 변수이고 a가 상수라면
멱 함수 지수 함수
power function exponential function
y=xa y=ax

지수(exponentiation)는 거듭제곱(멱, power)과 거의 같은... - 작성중(별도 페이지 필요한지 or merge - TBD)

반대 개념: 로그,log 또는 거듭제곱근,nth_root

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1. 표현, 단어

AKA: 표현이 참 많은데 .... TOCLEANUP {
거듭제곱
지수 exponent(밑의 오른쪽 위에 쓰는 수) exponentiation(연산하는 행동) exponential(adj?) (See also 지수함수,exponential_function)
y=ax
멱 power -
y=xa
승 승수
누승
}

tmp from WpKo:멱함수
{
멱함수,power_function : 거듭제곱의 지수를 고정하고 밑을 변수로. $f(x)=cx^a$


상미분방정식,ordinary_differential_equation,ODE에선 exponential growth(지수함수적/지수적/급격한/기하급수적인 성장/증가/증식) 및 exponential decay를 다룸

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2. 짝수 지수 vs 홀수 지수

$f(x)=x^n$ 은 지수 $n$ 이 짝수인지 홀수인지에 따라 다르게 행동한다.
만약 $n$ 이 홀수이면
$\left( \sqrt[n]{b} \right) ^ n = \sqrt[n]{b^n} = b$
즉 그대로 나온다.
반면에 $n$ 이 짝수이면
$\sqrt[n]{b^n}=|b|$
즉 부호,sign를 버리는 절대값,absolute_value 함수와 같다.

식 $\left( \sqrt[n]{b} \right) ^ n$ 은 $b$ 가 음수일때에는 계산될 수 없다. 왜냐하면 그 자신을 짝수배만큼 곱할 때 음수가 되는 실수가 없으므로, $b<0$ 에 대한 $\sqrt[n]{b}$ 를 실수로 계산할 수 없기 때문이다.

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3. Serial exponentiation

Superscript notation으로 쓰여 있으면 보통 위에서부터 평가,evaluation한다. (top down)
$a^{b^c}=a^{(b^c)}$
캐럿(^)이나 화살표(↑) notation일 때는 확립된 표준이 없다.

연산,operation이나 연산자,operator의 우선순위precedcence 목록에서, (operator_precedence) (순위 보다는) associativity (curr. 결합법칙,associativity; left associative인지, right associative인지) 관련임. 이것은 중요한데, 예를 들어 3(4⁵)와 (34)5는 [https]이렇게 엄청난 차이가 난다.

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4. 복소수의 거듭제곱 (밑 자리에 복소수)

복소수 a를 n(실수)제곱하면,
절대값(크기)는 n제곱이,
각도(편각,argument)은 n배가 됨

복소수를 복소수제곱하면 TBW

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5. 복소수 지수 (지수 자리에 복소수)

$z=a+ib(a,b\in\mathbb{R})$ 일 때,
$e^{a+ib}=e^a(\cos b+i\sin b)$

복소수,complex_number 지수를 써서 sin, cos 표현하기
$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$
$\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$

나중에 fork to complex_exponent


rel.
복소해석,complex_analysis의 출발점 중 하나가 복소수 지수를 정의하는 것... 이하 간단한 경우(복소해석 밖에서도 자주 쓰이는, 정형화된 공식들). // 복소수지수
오일러_항등식,Euler_identity $e^{i\pi}+1=0$
오일러_공식,Euler_formula - 지수 자리에 $i$ 가 등장
드무아브르_공식,de_Moivre_s_formula 에 의하면[1]
$(e^{ix})^n=e^{i(nx)}$

https://mathworld.wolfram.com/ComplexExponentiation.html
... Google:complex exponent

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6. 행렬 지수 (지수 자리에 행렬)

행렬,matrix이라면, [https]How (and why) to raise e to the power of a matrix | DE6
같이 언급: 연립미분방정식(system of differential equations), 회전,rotation, 테일러_급수,Taylor_series

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7. exponential 뭐뭐

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7.1. 지수함수 exponential function / 지수사상 exponential map

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7.2. 지수분포 exponential distribution

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7.3. exponential growth

지수적 성장/생장 ?

exponential growth
exponential_growth
"exponential growth"
Ggl:exponential growth


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7.4. exponential field

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7.4.1. ordered exponential field

ordered exponential field
ordered_exponential_field




"ordered exponential field"
Ggl:ordered exponential field

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7.4.2. exponentially closed field

exponentially closed field
exponentially_closed_field
https://ja.wikipedia.org/wiki/指数閉体 (지수폐체 로 번역)

"exponentially closed field"
Ggl:exponentially closed field

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7.5. 지수대상 exponential object

exponential object
exponential_object
WtEn:exponential_object ?
WpEn:Exponential_object ?


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8. 무슨무슨 exponential

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8.1. 이중지수 double exponential

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9. 밑 바꾸기

조건만 만족하면 모든 수를 지수 꼴로 바꾸는 항등식,identity:
$x=e^{\ln x}$
여기서 양변을 $n$ 제곱하면?

이것을 가지고 $x^n$ 을 $e^{(\star)}$ 꼴로 항상 바꿀 수 있음.
$x^n=\left(e^{\ln x}\right)^n=e^{n\ln x}$

중요!
$x^n=e^{n \ln x}$

tmp del ok.

$a^x = e^{x\ln a}$
양변에 로그를 취하면
$\ln(a^x)=\ln(e^{x\ln a})$
$x\ln a=x\ln a$


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10. QQQ TBW

$i^i=e^{-\frac{\pi}{2}}$ 증명?
참고, https://www.youtube.com/watch?v=ABk1HK2AR2E (blackpenredpen)

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11. tmp video en

지수의 정의역 확장.
Can we exponentiate d/dx? Vector (fields)? What is exp? | Lie groups, algebras, brackets #4 - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=9CBS5CAynBE
$y=e^x$
$y=e^{-x}$ .... 실수 지수 (real)
$y=e^z$ .... complex
$y=e^{\vec{v}}$ .... vector (on manifolds) — differential_geometry 에서
$y=e^{d/dx}$ .... 미분연산자,differential_operator — 양자역학,quantum_mechanics에서
$y=e^{\rm (vector field)}$ .... 벡터장,vector_field — Lie_theory 에서

$f(x)=e^x$ 는, $f'(x)=f(x),\;f(0)=1$ 의 유일한 해이다.
이걸 변형하면
dddddddddd
expon.을 일종의 journey로 볼 수 있다.
$g(1)=e^x$ 이고
$g(t)=\exp(tx)$ 가 다음을 만족하는.
$g(0)=1,$
$g'(t)=xg(t)$





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