#noindex
Sub:
 [[접선,tangent_line]]
 [[법선,normal_line]]
 [[할선,secant_line]] https://mathworld.wolfram.com/SecantLine.html
  https://ko.wikipedia.org/wiki/할선
  https://en.wikipedia.org/wiki/Secant_line
 [[점근선,asymptote]] - writing
 [[준선,directrix]]
{
REL
[[conic_section]]

https://mathworld.wolfram.com/ConicSectionDirectrix.html
WtEn:directrix ?
WpSp:Directrix ?
WpEn:Directrix ?
Ndict:directrix Ndict:준선 Ggl:준선
https://everything2.com/title/Directrix (tmp)
}
 [[무한원선,line_at_infinity]] - writing
 [[중심선,central_line]] - writing

 trivial: 수평선(horizontal line), 수직선(vertical line), 수직선(number line) - [[수직선,number_line]], 사선(oblique line) (=slant? slanted? slanting? incline? isocline?) (그리고 diagonal과 oblique의 차이는 뭐지? 서술. tbw. - see [[WpEn:Diagonal]] [[WpKo:대각선]])

 위 수직선과 아래 실직선의 관계? (내생각,chk) 아마 동의어이거나 실직선에서 필요에 따라 정수만 표기하거나 한게(부분집합 비슷한 게) 수직선? 수직선에서 수가 실수임을 명시한 게 실직선?
  → 일단 real line의 고정된 정의가 없음(MW), 대충 usage 차이/disambiguation서술 정도로 족할 듯.

 실직선 real line / real number line ... Ggl:"real number line" ...aka 실수직선?
  KmsE:실직선 { "real line 실직선" }
  ([[기하학,geometry]]의 '''직선'''과 [[해석학,analysis]]의 [[실수,real_number]]는 누구나 느낄 수 있는 '밀접한 관계'가 있는데 정확히 전문적으로? tbw, 아마 real line이 그 중간쯤의 영역에 있는 표현?)
  https://mathworld.wolfram.com/RealLine.html
   ''"has a number of different meanings" 즉 완벽히 고정된 정의는 없음.''

  Sub:
  // [[확장,extension]] of real number ? ... { cf. extended_natural_number { WpEn:Extended_natural_numbers } }
  // KmsE:extended

  extended_real_xxx
   {
   extended real number line
   extended real line
   extended real number system

   WpEn:Extended_real_number_line

   REL
   extended_real_number
    {
    '''extended real number'''
    WpJa:拡大実数
    Sub:
    affinely_extended_real_number
     {
     '''affinely extended real number'''
     }// affinely extended real number ... Ggl:"affinely extended real number"
    }// extended real number ... Ggl:"extended real number"
   cf. [[리만_구,Riemann_sphere]] ([[복소수,complex_number]]의 경우) 
   Sub:
   projectively_extended_real_line
    {
    '''projectively extended real line'''
    여기선 $+\infty,-\infty$ 를 $\infty$ 하나로 합쳤다
    WpEn:Projectively_extended_real_line
    }//projectively extended real line ... Ggl:"projectively extended real line"
   }// extended real line ... Ggl:"extended real line"

 Sorgenfrey_line - [[반례,counterexample]]로 자주 쓰이는 // MKL [[standard_topology]] 표준위상 ? WtEn:standard_topology ... rel [[nonstandard_topology]](?? Ggl:비표준위상 ?)
  Sorgenfrey line
  https://mathworld.wolfram.com/SorgenfreyLine.html x 2024-01
  https://planetmath.org/sorgenfreyline
   AKA lower limit topology = lower_limit_topology =,lower_limit_topology . "lower limit topology" Ggl:"lower limit topology"
   "The '''Sorgenfrey line''' is first countable and separable, but is not second countable. It is therefore not metrizable." // MKL [[위상,topology]] [[countability]] [[metrizability]]
  https://proofwiki.org/wiki/Definition:Sorgenfrey_Line
  https://topospaces.subwiki.org/wiki/Sorgenfrey_line
  Ggl:"Sorgenfrey line"
  Ndict:"Sorgenfrey line" x 2023-12
  Naver:"Sorgenfrey line"
  rel. Sorgenfrey_plane - 역시 [[반례,counterexample]]로 자주 쓰이는
   Sorgenfrey plane
   WpEn:Sorgenfrey_plane
   https://topospaces.subwiki.org/wiki/Sorgenfrey_plane
   "Sorgenfrey plane"
   Ggl:"Sorgenfrey plane"
 KmsE:Sorgenfrey x 2023-12
 Up: [[위상수학,topology]]

 long_line
  long line
  [[WpKo:긴_직선]] = https://ko.wikipedia.org/wiki/긴_직선
  [[WpEn:Long_line_(topology)]]
   "long line (or Alexandroff line)"
  https://ncatlab.org/nlab/show/long+line
 Up: [[위상수학,topology]]

Compare:
 '''직선(straight line)''' vs [[곡선,curve]] - [[방향,direction]]이 일정한 지 여부
  '''직선'''은 [[곡률,curvature]]이 0인 곡선임.
 [[선분,line_segment]]
{
두 개의 끝점 ([[점,point]])으로.. 정의?
[[직선,line]]의 [[부분,part]] or [[부분집합,subset]]?

[[MathWorld:LineSegment]]
= https://mathworld.wolfram.com/LineSegment.html
[[WpKo:선분]]
= https://ko.wikipedia.org/wiki/선분
[[WpEn:Line_segment]]
= https://en.wikipedia.org/wiki/Line_segment
[[다포체,polytope]]위키에선 dyad라고도? https://polytope.miraheze.org/wiki/Dyad
}
 [[반직선,ray]]
{
WpKo:반직선
 = https://ko.wikipedia.org/wiki/반직선
}
 [[축,axis]]

서로 다른 '''직선'''이 [[점,point]]에서 만나면 [[각,angle]]이 생김 
직선의 [[기울기,slope]]를 생각 가능.
직선-직선간, 직선-점 간, 직선-평면간, (또 있으면 여기 추가) 등의 [[거리,distance]]를 생각 가능.

성질:
 [[방향,direction]]이 있고, 일정하다. 그러나 [[벡터,vector]]와는 달리 [[위치,position]]가......TBW

<<TableOfContents>>

= 2D 평면에서 =
([[평면,plane]] 위의 직선)

한 점 $P_0(x_0,y_0)$ 를 지나고 [[기울기,slope]]가 $m$ 인 '''직선'''의 방정식은
 $\frac{y-y_0}{x-x_0}=m$
즉
 $y-y_0=m(x-x_0)$
 $y=m(x-x_0)+y_0$
으로 구할 수 있다.

= 3D 공간에서 =
([[공간,space]] esp. 3D [[유클리드_공간,Euclidean_space]] 안의 직선)

직선과 평행한 [[벡터,vector]]를 $\vec{v}=(a,b,c)$ 라 하고
직선 위의 한 점 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 를 지나고 벡터 $\vec{v}$ 와 평행한 직선 위의 임의의 점을 $P(x,y,z)$ 라 하면
벡터 $\vec{P_0P}$ 는 $\vec{v}$ 와 평행([[평행성,parallelism]])하므로
 $\vec{P_0P}=t\vec{v}$ ... (1)
인 실수 $t$ 가 존재한다.
 $\vec{OP}=\vec{r},\;\vec{OP_0}=\vec{r_0}$
이라고 하면 (1)을 다음과 같이 쓸 수 있다.
 $\vec{r}-\vec{r_0}=t\vec{v}$
 $\vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{v}$
이 식을 직선의 [[벡터방정식,vector_equation]]이라고 한다.

또한 (1)을 성분별로 나타내면
 $(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=(ta,tb,tc)$
이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
 $x=x_0+at,$
 $y=y_0+bt,$
 $z=z_0+ct\;\;\;(-\infty<t<\infty)$
이 식을 직선의 [[매개변수방정식,parametric_equation]]이라고 한다. 

또한 매개변수방정식에서 매개변수 $t$ 를 소거하여
 $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\;\;\;(abc\ne 0)$
로 나타낸 것을 직선의 [[대칭방정식,symmetric_equation]]이라고 한다.

만약 $a,b,c$ 중에서 0이 있어도 매개방정식에서 매개변수를 소거하는 것이 가능하다.
예를 들어 $a=0$ 이라면
 $x=x_0,\,\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$
로 나타낼 수 있다. 이때 직선은 x축과 수직인 평면 $x=x_0$ 에 포함된다. [* 서울대기초수학학습교재 p23]

= tmp CLEANUP =
{
ex.
3차원 공간에서 직선의 방정식
 (매개변수 쓰지 않은 꼴)
  $\frac{x-x_1}a=\frac{y-y_1}b=\frac{z-z_1}c$
 (매개변수 $t$ 쓴 꼴)
  $x=x_0+at,\,y=y_0+bt,\,z=z_0+ct$
 이걸 [[방향벡터,direction_vector]] $\vec{v}$ 를 써서 [[벡터방정식,vector_equation]]으로 쓴 꼴:
  $\vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{v}$

i.e. ''from http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1141060 6.''
{
직선 위 임의의 점을 $\vec{r}$ 이라 하면,
 $\vec{r}-\vec{r_0}=t\cdot\vec{v}$
따라서
 $\vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{v}$

$\vec{r}=(x,y,z)$
$\vec{r_0}=(x_0,y_0,z_0)$
$\vec{v}=(a,b,c)$

그러면

$x=x_0+ta$
$y=y_0+tb$
$z=z_0+tc$

위 식에서 매개변수를 소거하면

$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$

그렇다면, $\vec{r_0}$ 부터 $\vec{r_1}$ 까지의 [[선분,line_segment]]?

선분 위의 임의의 [[점,point]]을 $\vec{r}$ 이라 하면
$\vec{r}-\vec{r_0} = t(\vec{r_1}-\vec{r_0})\quad (t\ge 0)$
$\vec{r}=(1-t)\vec{r_0} + t\vec{r_1}\quad (t\ge 0)$

(여기선 헷갈리므로 $t$ 대신 $s$ 를 쓰면)
$\vec{r}-\vec{r_1}=s(\vec{r_1}-\vec{r_0})\quad (s\le 0)$
$\vec{r}=-s\vec{r_0}+(1+s)\vec{r_1}\quad (s\le 0)$

선분 $\vec{r} = (1-t)\vec{r_0} + t\vec{r_1}\quad (0 \le t \le 1)$

(rel. 내분 internal division, 내분점 internally dividing point (kms) ... [[내분,internal_division]], [[내분점,internally_dividing_point]])
}

 두 점 $P=(x_1,y_1,z_1),\,Q=(x_2,y_2,z_2)$ 이 주어졌으면 
  $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_2}$
  $x=x_1+(x_2-x_1)t,\;y=y_1+(y_2-y_1)t,\;z=z_1+(z_2-z_1)t$ $(t\in\mathbb{R})$
2차원에서는
 $ax+by+c=0$ 로 [[평면,plane]]과 비슷..
 [[매개변수방정식,parametric_equation]]으로도 쓸 수 있음.
  $(x_0,y_0)$ 를 지나는 '''선'''을 따라 움직이는 물체가 있고
   $\frac{dx}{dt}=a,\,\frac{dy}{dt}=b$
  이면, 직선의 방정식은
   $x=a_0+at,\;y=y_0+bt$
  이며 [[기울기,slope]]는 $m=b/a$ 이다. (Calculs Single Variable 6e p251)
주어진 직선과 평행한 벡터인 [[방향벡터,direction_vector]]를 생각 가능. see [[방향수,direction_number]], later [[방향,direction]].
}

'''직선'''은 일차방정식([[선형방정식,linear_equation]])의 해 또는 그래프와 관련.

= Khan =
형태
$y=mx+n$ 은 $\mathbb{R}^2$ 에서는 간단.
$L=\lbrace\vec{x}+t\vec{v}|t\in\mathbb{R}\rbrace$ 는 더 일반적.
(Khan, linalg, Parametric repr. of lines)

= Thomas =
== 직선의 벡터방정식 ==
$P_0(x_0,y_0,z_0)$ 를 지나 벡터 $\vec{v}$ 에 평행한 '''직선'''의 [[벡터방정식,vector_equation]] $L$ 은
 $\vec{r}(t)=\vec{r_0}+t\vec{v},\;\;\;-\infty<t<\infty$
여기서 $\vec{r},\,\vec{r_0}$ 는 $L$ 상의 점 $P(x,y,z),\,P_0(x_0,y_0,z_0)$ 의 [[위치벡터,position_vector]]이다.

== 직선의 매개변수방정식 ==
$P_0(x_0,y_0,z_0)$ 를 지나 벡터 $\vec{v}=v_1\hat{i}+v_2\hat{j}+v_3\hat{k}$ 에 평행한 '''직선'''의 표준 [[매개변수방정식,parametric_equation]]은
 $x=x_0+tv_1,$
 $y=y_0+tv_2,$
 $z=z_0+tv_3,\;\;\;-\infty<t<\infty$

= 직선의 polar form =
straight line의 [[극형식,polar_form]]은 밑의 intercept form에서 $x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta$ 를 넣어서
 $\frac{r\cos\theta}{a}+\frac{r\sin\theta}{b}=1$
이건 간단히 하면 다음 꼴이 됨 (과정 생략, 그림 필요하고 복잡. 책 참조.)
 $r\cos(\theta-\beta)=d$
$d$ 는 원점에서 직선까지의 (최단)거리. $\beta$ 는 원점에서 직선까지 거리를 표시하는 선의 각.
(Heinbockel Vol1 p39)

= 직선에 대한 표현 ... 이라기보단 두 직선의 위치관계? =
== skew lines ==
from wpsimple: 평행parallel하지도 교차intersecting하지도 않음. 같은 [[평면,plane]]에 있을 수 없음. 3차원(이상?)에서만 존재 가능.
[[WpSimple:Skew_lines]]
[[WpEn:Skew_lines]]
[[WpKo:꼬인_위치]]
https://mathworld.wolfram.com/SkewLines.html

----
꼬인 직선

평면에서 평행하지 않은 두 직선은 한 점에서 만난다. 그러나 공간에서 두 직선은 평행하지 않아도 만나지 않는 경우가 있다. 이런 경우 두 직선은 '''꼬인 위치에 있다'''고 한다. [* 서울대기초수학학습교재 p25]

== parallel ==
[[평행,parallel]] .... [[평행성,parallelism]](writing)

이걸 '기하학'페이지에 '표현'으로 mv??

= Misc: 2D 직선 방정식 여러 꼴의 영어 표현 =
고정점 $(x_1,y_1)$ 을 지나고 기울기가 $m$ 인 '''직선'''의 방정식은
 $y-y_1=m(x-x_1)$ (point-slope form of the equation of a line)
y절편이 $b$ 이면 점 $(0,b)$ 를 지나므로 위에 대입하면 $y-b=m(x-0)$ 따라서
 $y=mx+b$ (slope-intercept form)
수직선(vertical line)등을 포함한 일반적인 꼴은
 $Ax+By+C=0$ (A and B not both 0) (general linear equation)
(Varberg)
----
point-slope equation of the line
 $y-y_1=m(x-x_1)$
slope-intercept equation of the line
 $y=mx+b$
general linear equation (A and B not both 0)
 $Ax+By=C$
(Thomas)
----
general equation
 $Ax+By+C=0$
slope-intercept form
 $y=mx+b$
intercept form - y축을 (0,b)에서, x축을 (a,0)에서 만날 경우 (절편)
 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1,\;\;a\ne 0,\;b\ne 0$
(Heinbockel Vol 1 p38)

= 참고 from e2. merge. del ok. =
== 직선을 나타내는 방정식, equation of a line ==
[[방정식,equation]]
https://everything2.com/title/vector+equation+of+a+line
https://everything2.com/title/Symmetric+equation+of+a+line

= QQQ CHK =
'''직선'''의 각 [[점,point]]들과 [[실수,real_number]]들을 [[일대일대응,one-to-one_correspondence]] 가능?

직선 위의 점 P ⇔ 실수 x
평면 위의 점 P ⇔ 실수의 쌍 (x, y)
(수학의 정석)

----
https://mathworld.wolfram.com/Line.html

Up: [[기하학,geometry]]