질량,mass

기호 m
단위 kg


물체의 운동 상태를 변화시킬 때 물체가 나타내는 저항의 척도. (Zumdahl)

관성 질량(inertial mass)과 중력 질량(gravitational mass)이 있으며, 서로 다른 개념이지만 실험에 의하면 둘은 매우 높은 정밀도로 일치.

관성질량: 힘에 맞서 운동 상태 변화를 거부하는 정도

물체는 속도 변화에 거스르려는 경향을 가짐 (관성,inertia). 그 경향의 정도가 질량.

상대성이론,relativity_theory에서는 정지질량(rest mass, m0) 등을 고려해야 하는데 여기선 논외.




[edit]

1. 힘,force, 가속도,acceleration와의 관계

$F=ma$


[edit]

2. 중력장,gravitational_field에서 무게(weight)와의 관계

참고로 내적/벡터미적분을 활용하려면
$m\vec{g}=-mg\hat{\mathrm{\jmath}}$
즉
$\vec{g}\Leftrightarrow -g\hat{\mathrm{\jmath}}$
등으로 쉽게 변환할 수 있어야 하는데, TBW

[edit]

3. 밀도, 부피와의 관계

[edit]

4. 질량과 몰질량

몰수 = 질량 / (몰질량)
$n = \frac{m}{M}$
See 몰질량,molar_mass

[edit]

5. 화학: 원자량과 분자량 +질량수

원자량,atomic_mass
분자량,molecular_mass
이것들은 mass 대신 weight를 쓰기도 한다. 지구 표면에서만 실험을 하는 기초 화학에선 둘 사이에 굳이 구별을 하지 않는 듯 하다.

질량 = 분자량 × 몰수
$m=M\cdot n$
$\textrm{1 g=(1 g\cdot mol^{-1})\cdot 1 mol$


원소기호의 왼쪽 위의 첨자형태로 쓰기도 함.

질량수 A = 원자핵,atomic_nucleus 속 (proton수(Z) + neutron수(N)) = baryon수(기호 B, 중입자수, 중입자,baryon 수, WpEn:Baryon_number)

관계식
원자번호,atomic_number Z { =,atomic_number WtEn:atomic_number 원자번호 = 핵전하번호 기호 Z ... 원자핵의 전하수. 원자핵 속 양성자의 개수. WpEn:Atomic_number }
중성자,neutron 수 N
질량수,mass_number A
사이에는
Z = A − N
N = A − Z
관계가 있음.


[edit]

6. 에너지와의 관계

질량-에너지_동동성 E=mc²에 의해 에너지,energy와 변환 가능.

상대론에 의하면 속도,velocity v인 입자,particle의 질량,mass은 정지질량이 $m_0$ 일 때
$m=f(v)=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

[edit]

7. 질량중심 center of mass

질량중심,mass_center
center of mass, abbr. CM

대충,
물체의 질량 $m$ 이 각 입자 질량의 합 $m=\sum m_i$ 이고
그 위치가 $(x_1,y_1,z_1),\,(x_2,y_2,z_2),\,\cdots$ 이면
질량중심의 x좌표는
$x_{c}=\frac{\sum x_i m_i}{\sum m_i}$
질량중심의 y좌표는
$y_{c}=\frac{\sum y_i m_i}{\sum m_i}$
(z 좌표도 마찬가지, 생략)
이렇게 되는듯.

$x$ 축만 생각했을 때, 물체가 $n$ 개라면, 전체 물체의 질량중심은
$x_{\textrm{cm}}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_nx_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}=\frac1M\sum_{i=1}^{n}m_ix_i$
3차원 좌표계를 생각하면 $y,z$ 의 경우도 다음과 같다.
$y_{\textrm{cm}}=\frac{m_1y_1+m_2y_2+\cdots+m_ny_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}=\frac1M\sum_{i=1}^{n}m_iy_i$
$z_{\textrm{cm}}=\frac{m_1z_1+m_2z_2+\cdots+m_nz_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}=\frac1M\sum_{i=1}^{n}m_iz_i$
이것을 벡터,vector 형식으로 표현하면
$\vec{r}{}_{\textrm{cm}}=\frac{m_1\vec{r_1}+m_2\vec{r_2}+\cdots+m_n\vec{r_n}}{m_1+m_2+\cdots+m_n}=\frac1M\sum_{i=1}^{n}m_i\vec{r_i}$
질량이 연속적으로 분포한 것으로 가정하면
$\vec{r}{}_{\textrm{cm}}=\frac1M\int\vec{r}dm=\frac1M\int\vec{r}\rho dV$
여기서
$\rho$ : 각 지점에서 물체의 밀도,density
$dm$ : 각 지점의 질량요소
$dV$ : 부피요소

설명: $\rho=\frac{m}{V},\; \rho=\frac{dm}{dV}$ 에서 $dm=\rho dV$

(참조: physica.gsnu.ac.kr 물리의 이해 > 힘과 운동 > 운동량과 충돌 > 입자계외 질량중심)

$\vec{r_{\textrm{cm}}}=\frac{\sum\vec{r_i}m_i}{\sum m_i}$
$=\frac{m_1\vec{r_1}+m_2\vec{r_2}+\cdots+m_n\vec{r_n}}{m_1+m_2+\cdots+m_n}$

i.e.

$\vec{r}{}_{CM}=\sum\frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2+\cdots}{m_1+m_2+\cdots}=\frac{\sum m_i \vec{r}_i}{M}$

$x_{CM}=\frac{\sum m_i x_i}{M}$
$y_{CM}=\frac{\sum m_i y_i}{M}$
$z_{CM}=\frac{\sum m_i z_i}{M}$

질량밀도,density와 조금 관련 (계산할 때 서로가 언급될 수 있던데...)




[edit]

8. 미적분 관점

3차원 공간에 있는 영역 $D$ 를 채우고 있는 물체의 밀도함수,density_function(rel. 밀도,density, 확률밀도함수,probability_density_function,PDF)를 $\delta(x,y,z)$ 라 하면,
$D$ 위에서 $\delta$ 의 적분값이 질량(mass)이다.

좌표평면에 관한 입체 $D$ 의 1차 모멘트(first_moment, curr see 모멘트,moment)는 평면에서 점 $(x,y,z)$ 까지의 거리에 그 점에서 입체의 밀도를 곱하고 $D$ 에서 3중적분한 것으로 정의한다. 예를 들어 xy평면에 관한 1차 모멘트는
$M_{yz}=\iiint_D x\delta(x,y,z)\,dV$
이다.
질량중심,mass_center은 1차 모멘트로 얻어진다. 예를 들면 질량중심의 x 성분은 $\bar{x}=M_{yz}/M$ 이다.
얇고 평평한 판과 같은 2차원 물체의 경우 1차 모멘트는 간단히 z성분을 누락하여 얻을 수 있다. 그래서 y축에 대한 1차 모멘트는 y축으로부터의 거리에 밀도를 곱하여 적분하는 것으로 다음과 같다.
$M_{y}=\iint_R x\delta(x,y)\,dA$

(요약)
2차원 평평한 판의 경우
질량:
$M=\iint_R \delta \, dA$ ..... $\delta=\delta(x,y)$ 는 $(x,y)$ 에서 밀도함수
1차 모멘트:
$M_y=\iint_R x\delta \, dA$
$M_x=\iint_R y\delta \, dA$
질량중심: // 질량중심,mass_center, 여기선 centroid와 마찬가지
$\bar{x}=\frac{M_y}{M},\;\bar{y}=\frac{M_x}{M}$
3차원 입체의 경우
질량:
$M=\iiint_D \delta \, dV$ ..... $\delta=\delta(x,y,z)$ 는 $(x,y,z)$ 에서 밀도함수
좌표평면에 관한 1차 모멘트:
$M_{yz}=\iiint_D x\delta\,dV$
$M_{xz}=\iiint_D y\delta\,dV$
$M_{xy}=\iiint_D z\delta\,dV$
질량중심:
$\bar{x}=\frac{M_{yz}}{M},\;\bar{y}=\frac{M_{xz}}{M},\;\bar{z}=\frac{M_{xy}}{M}$

(Thomas 13e ko chap13.6 모멘트와 질량중심)

[edit]

9. Misc