집합,set

집합에 포함된 것 하나하나가 원소,element or member.

원소는 집합에 포함되거나 포함되지 않는다. (둘 중 하나. 관련 표현: bipartite, dichotomy)
이게 아니거나(?)
집합에 포함될 확률,probability을 0 or 1 뿐이 아닌 단위구간,unit_interval $[0,1]$ 내의 한 실수로 일반화,generalization하면 (? 확실히)
퍼지집합,fuzzy_set
Rel. rough_set_theory rough set theory Ggl:rough set theory / 퍼지이론/퍼지논리/퍼지함수. random links tocleanup { Namu:퍼지 함수 ... Ggl:퍼지이론 Ggl:퍼지논리 Ggl:퍼지함수 }

원소의 순서는 고려 대상이 아님. i.e. 원소 순서에 대한 구분은 없다.
순서,order를 고려하는 것이 순서집합,ordered_set

TBD
proper- 의 번역? 진- 이 쓰이는데 better 대안은 혹시 있는지?... KmsE:proper WtEn:proper#Adjective (2. > 6.)
sub- 의 번역? 부분- 이 쓰이는데 〃
super- 의 번역? 이건 제각각이며 그 중에 맘에 드는 게 하나도 없다. 빨리 번역 결정. KmsE:super WtEn:super-#English
Ggl:sub super mathematics prefix

proper sub
proper super 이렇게 겹쳤을 때 이상하지 않아야 함.

cf.
strictly 표현도 참조. 이건 순- 으로 보통 번역. strictly convex(순볼록) 등등. KmsE:strict
이것 proper와 상당히 비슷한데... '같은 것'이나 '변화가 없는 것'이나 '경계선에 있는 것'은 (포함하지 않고) 제외한? (??) chk
그러고보니 closed가 아닌 open과도 상당히 비슷함.

CLEANUP BELOW

원소들끼리는 서로 다르다. 표현(different말고)? distinct?
중복된 원소를 허용하는 집합은 것은 다원집합,multiset - multiset 번역은 뭐가 최선이지? Ndict:multiset KmsE:multiset Ggl:multiset ... 적당한 게 없다. WpKo:중복집합에선 '중복집합 or 다중집합'이라 함. // 굳이 또 파고들자면 중복집합 보다는 중복허용집합 이 더 correct?? / 멀티집합?
‘집합은’이라고 해도 틀리지 않다고 볼 수도 있지만, multiset ≠ set이므로..
i.e. 집합(set)이라는 단어의 뜻을 넓게 잡으면 multiset도 set이지만, multiset은 일반적으로 통용되는 (set 개념)의 하위범주가 아니라 일반화/확장이므로 multiset은 set이 아니라고 할 수도 있다. (이런 뻔한 건 분류 체계 제대로 갖춰지면 삭제. 특정 단어가 '어디까지 사용될 수 있는지'를 서술하는 건 비효율적인 듯 하고, 핵심 개념 서술과 서로 다른 단어가 있다면 다른 단어의 관계에만 집중하는 게 옳은 듯 하다. ∵ Term의 usage는 시간에 따라, 언중에 따라, 책 저자의 정의에 따라 얼마든지 바뀔 수 있으므로)
multiset
WtEn:multiset
WpEn:Multiset
AKA bag, mset이라고도 한다
Rel multiplicity - 번역? KmsE:multiplicity 중복도,multiplicity?
그러고보니 저건 measure(counting의 결과, 정수 type인 수)일 때고, 성질,property일 때는 중복성,multiplicity or 중복가능성,multiplicity?? (similar to duplication?)
저것과 multiplier 비교 todo. WtEn:multiplicity WtEn:multiplier multiplier { (곱셈자,multiplier 승수,multiplier 배율기,multiplier ... )
Ndict:multiplicity Naver:multiplicity하면 다른 분야에 다중도 ...등등의 번역 있음, 다중도,multiplicity
Ggl:multiset
http://www.gabormelli.com/RKB/Multiset ....'중복을 허용' 이건 좀 모호하므로,(인간의 언어) 집합 하나와 그것에 대한 빈도를 돌려주는 함수(frequency_function)의 2-tuple, 이렇게 수학적으로 단순하게 정의 가능.
분야는 아마 집합론,set_theory 조합론,combinatorics ?

Sub:
수의_집합
사건,event

원소의 개수에 따라 유한집합/무한집합/공집합 .. 이 아니라 공집합이 유한집합에 속함.
공집합,empty_set
비공집합,nonempty_set
nonempty set
Compare: inhabited_set
https://mathworld.wolfram.com/NonemptySet.html
wt x 2023-12
… Google:nonempty set
inhabited_set
inhabited set
// not in kms as of 2022-11-12 => https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=inhabit
Compare: 비공집합,nonempty_set
https://planetmath.org/inhabitedset
https://ncatlab.org/nlab/show/inhabited set
WpEn:Inhabited_set - WpEn:Classical_mathematics에서는 비공집합과 같으나, constructive_mathematics { constructive_mathematics WpEn:Constructive_mathematics }에선 다를 수 있다?
… Google:inhabited set
wt x 2023-12
한원소집합, singleton 또는 singleton_set // pagename TBD; WtEn:singleton
{
하나,one의 원소,element만을 가지는 집합,set.
가장 간단한 nonempty set으로 볼 수 있음.
(성질: 당연히) 원소의 개수 or 카디널리티,cardinality가 1.



… Google:singleton set
(cf, del ok:
WtEn:singleton
WtEn:singleton_set (뻔한얘기))
}
유한집합,finite_set
{
tmp bmks ko
https://m.blog.naver.com/hafs_snu/221089512333 중간쯤에 유한집합/무한집합 정의 있음 (Src: Google:johnsonbaugh discrete )





Up: 가측성,measurability 집합,set
}
비가측집합 nonmeasurable_set
보렐_집합,Borel_set
가산집합,countable_set - 아래 section 5에 있음

// 방정식,equation, 미분방정식,differential_equation
해집합,solution_set - rel. 해,solution와 구분하지 않고 자주 쓰이는듯..? (많은 문제들이 '해를 구하라: 해집합을 구하라')
QQQ 해가 여러개인 경우가 당연하면, 예를 들어 연립방정식,system_of_equations인 경우에는 '해'라고 하면 당연히 '해집합'을 뜻하는 것인가? 해의 가능한 개수에 따라 해가 해집합을 함축하는 것인가?

// CS 관련
문자집합,character_set?

// 위상,topology 관련
열린집합,open_set
닫힌집합,closed_set
열린닫힌집합,clopen_set - 이 셋 작성중

see also 구간,interval

정렬순서집합(well-ordered set) - see 자연수,natural_number 마지막부분
유향집합,directed_set - order_theory 얘기
https://planetmath.org/directedset
https://mathworld.wolfram.com/DirectedSet.html
https://ncatlab.org/nlab/show/direction (order_theory의)
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Directed_set
WpEn:Directed_set - (or a directed_preorder or a filtered_set)
https://everything2.com/title/directed set
upward directed set
downward directed set

// 이것도 순서론
상집합 upper_set
하집합 lower_set - WpKo:상집합 참조.

// 그냥 집합론?
index_set - writing
{
wt x 2024-1
index set
} index set ... Ggl:index set

pure_set - writing

// 이것들은 rel. 합,sum 덧셈,addition / 분야는 정수론,number_theory esp additive_number_theory, 조합론,combinatorics
sumset = 민코프스키_합,Minkowski_sum - writing; WpEn:Sumset
sum-free_set - writing; WpEn:Sum-free_set
restricted_sumset - writing; WpEn:Restricted_sumset
Sidon_set - writing; WpEn:Sidon_set - redir to Sidon_sequence

analytic_set
{
analytic set
해석적 집합 via KmsE:analytic set
WpKo:해석적_집합
WpEn:Analytic_set
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Analytic_set
} // analytic set Ndict:analytic set Ggl:analytic set



[edit]

1. 표기

관례: 집합은 대문자로, 원소는 소문자로

원소나열법
{1, 2, 3}
조건제시법 (WpEn:Set-builder_notation)
{x: 0<x<4, x∈ℕ}

// Specification of sets // from ㄷㄱㄱ Week 1-1 p14
{
여기선 이런 용어를 쓴다.
List notation // 목록 표기법
Predicate notation // 술어,predicate 표기법
그리고,
Recursive rules : Defining a set of rules which generates its members // rel. 재귀,recursion and 점화식,recurrence_relation; QQQ 생성함수,generating_function와 유사성이?
Ex.
  • 2 ∈ A
  • If x ∈ A, then x+3 ∈ A
  • Nothing else belongs to A
}

Venn diagram here?
- No, 집합 하나 표기가 아니라, 보통 집합 간의 관계를 나타낼 때.


[edit]

2. 연산


inclusion ∈
pronounced/read as "belongs to", "is a member of", "is in"
\in $\in$
\ni $\ni$
membership? .... set_membership 을 위한 효율적인 확률적자료구조,probabilistic_data_structure로 블룸_필터,Bloom_filter가 있다

∉
does not belong to
\notin $\notin$
\not\in $\not\in$

subset and superset
see 부분집합,subset
⊂ $\subset$ \subset
⊃ $\supset$ \supset
⊆ $\subseteq$ \subseteq
⊇ $\supseteq$ \supseteq
$\not\subset$ \not\subset
이하 mimeTeX에서 지원 안함
$\subsetneq$
$\subsetneqq$
$\supsetneq$
$\supsetneqq$

set equality =
A=B ⇔ A⊂B and A⊃B

합집합 union ∪
\cup $\cup$
\bigcup $\bigcup$
$A\cup B=\left{x\middle|x\in A \vee x\in B\right}$
합집합,union or set_union

교집합 intersection ∩
\cap $\cap$
\bigcap $\bigcap$
$A\cap B=\left{x\middle|x\in A \wedge x\in B\right}$
교집합,intersection or set_intersection
https://mathworld.wolfram.com/Intersection.html
참고. 기하에서 intersection은 교차하는- 만나는- 의 뜻으로 쓰이는데 rechk.

차집합 set_difference (relative complement)
고등학교 과정에서는 －(minus) 기호
ISO: A-B should not be used. ([https]src) 이유는?
subtraction(뺄셈,subtraction)과 뜻이 다른 건 명백한데, (제외/배제/exclusion 쪽에 가까운.) 구분을 위해? / subtraction과 difference는 다르니까? 숫자에선 difference가 subtraction과 같지만 집합에선 difference는 있지만 subtraction은 없으니, subtraction 기호를 배제하자는 것?
일반적으로 backslash(\) 비슷한 기호 ∖
\setminus: $\setminus$
\backslash: $\backslash$
$A\setminus B=\left{x\middle|x\in A \wedge x\notin B\right}$
$A\setminus B=A\cap B^C$
차집합,difference
set difference, relative complement - chk
[https]수학백과: 차집합 (too easy)
https://mathworld.wolfram.com/SetDifference.html


여집합,complement
여집합, complement (absolute complement)
aka set_complement, complement_set,
// complementation? , complementary set(두산)
X의 여집합 기호: XC 또는 X' 또는 X-bar( $\bar{X}$ )
$A^c=U-A$
$A^c=\left{x:x\not\in A\right}$
공집합,empty_set과 전체집합,universal_set은 서로 complement.
[https]수학백과: 여집합 (too easy)
https://everything2.com/title/Complement
집합론에선: 집합,set의 여집합
논리학에선: 명제,proposition의 negation
불_논리,Boolean_logic/불_대수,Boolean_algebra : 논리학과 마찬가지 ........ 이거 chk
영단어에는 보수,complement, 보체,complement, 보어,complement, ... 라는 뜻도 있음. Ndict:complement

곱집합, cartesian product, 데카르트 곱
곱집합,product_set

서로소 disjoint, mutually exclusive
이건 연산이 아니고 성질인가?
S∩T={} : S and T are disjoint
See also 분리,disjoint(curr goto 결합,joint)
(집합의 서로소)
A와 B에 공통인 원소가 하나도 없을 때,
즉 A와 B의 교집합 set_intersection 이 공집합,empty_set이라면,
즉 A∩B=∅이라면,
A와 B는 서로소.

disjoint_union
서로소합집합,disjoint_union or 분리합집합,disjoint_union
writing

원소의 수 n()
이것도 연산이라기보단 성질? 정수를 출력하는 연산으로 볼수도 있을듯?
기수,cardinal_number관련임.
카디널리티,cardinality

[edit]

3. 여러 토픽

분할,partition
부분집합들이 모두 서로소이고 합집합이 전체집합을 이룸

부분집합,subset

진부분집합,proper_subset - curr at 부분집합.

superset - 번역이 초집합/상위집합/포함집합(kms) 등이 보이고, 기타 수퍼셋 수퍼집합(? 내생각) ... 뭐가 좋을지? pagename TBD.
{
클래스,class의 superclass, ...와 비슷






singleton, singleton_set, unit_set
{
// 싱글턴 싱글톤 ... 단위집합 ?? { Naver:단위집합 Google:단위집합 }

한 개의 원소를 가진 집합.

이 단어는 1-tuple (see 튜플,tuple) 에도 쓰인다.
}


집합의 크기, number of elements
$n(A)$ 고교 교과서
$|A|$ 절대값,absolute_value과 같은 기호
$\operatorname{card} A$ : number of elements in A, cardinality of A
cardinality
countable - 가산집합의 농도는 $\aleph_0$
uncountable

cardinality는 농도로도 번역?
Libre:농도_(수학)
TODO CHK; from [https]src
{
Q:
one two three 같이 순서 없고 개수를 세는 개념이 기수(cardinality)
first second third 같이 차례를 셀 때 쓰는 개념이 서수(ordinal number)?

집합 A와 B가 동일한 cardinality를 가진다는 것은
A와 B 사이에 일대일대응관계(one-to-one correspondence)가 있음을 의미
표기: |A|=|B|
pages:
전단사,bijection(curr goto 함수,function#s-5)
대응,correspondence
사상,map

}

포함-배제 원리 principle of inclusion-exclusion
n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)



드 모르간 de_Morgan_s_law
$(A\cap B)^C=A^C\cup B^C$
$(A\cup B)^C=A^C\cap B^C$
also in: 논리,logic and 불_대수,Boolean_algebra

[edit]

4. 집합을 통한 자연수 구성

공집합(null set) ∅ = { } 을 0에,
{∅}을 1에,
{∅,{∅}}을 2에,
{∅,{∅},{∅,{∅}}}을 3에,
{∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}을 4에,
...
서수,ordinal_number
(Giuseppe Peano의 아이디어를 Cantor가 발전시킨 것으로, 후에 von Neumann이 체계 확립)


관련 - 자연수,natural_number 페아노_공리(자연수page #s-1 참조)

참조
[https]https://pub.mearie.org/자연수에서 간략히 언급
https://everything2.com/title/Number 에서 두번째 (A set theoretic derivation of the numbers)
https://freshrimpsushi.github.io/posts/axiom-of-infinity/ (무한공리,infinity_axiom - axiom of infinity - 를 다룬 포스트에서 언급. 자연수 집합이 존재한다는 정리(자연수집합의 존재성,existence)를 무한공리에서 이끌어 냄.)


[edit]

5. 가산과 비가산

가산집합,countable_set
자연수,natural_number의 집합과 일대일 대응이 가능한 집합
농도 $\aleph_0$
발음: aleph null
i.e. countably infinite set의 cardinality
자연수,natural_number와 일대일대응 관계이면 셀 수 있다는 뜻의 가산집합이라 부름. 실수,real_number의 집합은 셀 수 없음.

가산집합의 예
$\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ 등
가산이 아닌(비가산?불가산?) 집합의 예
$\mathbb{R},$ 그 부분집합인 $\lbrace x|x\in\mathbb{R},0<x<1\rbrace$ 등
// tmp from wpko
{
자연수 집합으로의 단사함수가 존재하는 집합.
가산집합이 아닌 집합은 비가산집합,uncountable_set.

유한집합을 일반적으로 포함하는 용어이나... 이걸 제외하고 셀 수 있는 무한집합만을 가리킬 때는.... - entry 참조. 가부번집합,denumerable_set 등의 용어. chk later.

// tmp from https://m.blog.naver.com/at3650/221076452389 Lemma 1.4.10 설명에서
countable은 denumerable과 finite를 포괄하는, 더 넓은 개념.
}
TBW countable vs denumerable ?? 가산집합,countable_set vs 가부번집합,denumerable_set ??
and enumerable

WpKo:가산_집합
WpEn:Countable_set


[edit]

6. Cantor set

https://horizon.kias.re.kr/9447/ 중간쯤. "군의 경계는 어떻게 생겼을까?"
아래 1D-3D는 위상차원topological dimension이 1인 대표적인 공간들임. 고차원도? chk
프랙탈,fractal관련?

[edit]

6.1. 1D : 칸토르 집합 Cantor set

[edit]

6.2. 2D : 시어핀스키 카펫 Sierpinski carpet

Cantor_set 의 2차원 버전?
한 변의 길이가 1일 정사각형을 9등분해서 가운데 부분을 제거하고, 남은 8개의 더 작은 정사각형의 가운데를 제거하고, 이 과정을 계속 반복.
제거된 정사각형의 넓이의 합은 1이다. (즉 Sierpinski carpet의 넓이,area는 0이다.)
[edit]

6.3. 3D : 멩거 스펀지 Menger sponge

[edit]

6.4. 고차원 : 멩거 컴팩텀 Menger compactum


[edit]

7. transitive_set


원소의 원소를 원소로 하는 집합.

다음 조건들은 동치이며 이를 만족시키는 집합이 추이적 집합.
  • ∀ B∈A∈X, B∈X
  • ∀ A∈X, A⊆X
  • X⊆𝒫(X)
//멱집합,power_set

via:
서수,ordinal_number의 정의에 쓰임. Namu:서수(수학)에서 "추이적 집합" 검색.




Up: transitivity - 전이성 or 추이성. 작성중.
}

[edit]

8. Vitali set

[edit]

9. etc

무한집합,infinite_set
{
계수가능무한집합 countably infinite set ... // countability
셀수있는무한집합
이것의 카디널리티,cardinality는 $\aleph_0$ ?

그 밖의 무한집합은 모두? chk : uncountably infinite set
S가 유한집합이고 T가 그 진부분집합이면, n(T)<n(S)이다. 이것은 실세계의 "전체는 부분보다 크다"는 직관과 일치한다. 그러나 S가 무한집합이면 이것은 더 이상 적용되지 않는다. 예를 들어 자연수와 짝수 사이에 일대일 대응이 성립한다.

또 다른 비직관적인 성질은 어떤 무한은 다른 무한보다 훨씬 더 크다는 점. 예를 들어 ℕ⊂ℝ, ℕ≠ℝ이며 둘은 일대일대응 성립 안함. 그래서 ℝ은 ℕ보다 더 많은 원소를 가짐.

Ref: 10개의 특강으로 끝내는 수학의 기본 원리

기수,cardinal_number 표기 (aleph)
\aleph $\aleph$

[edit]

10. related

[edit]

11. (순수수학 밖) 자료구조나 ADT에서 set

자료구조,data_structure나 ADT abstract_data_type 에 해당하는 내용은 여기에 section을 만들까 아님 새 페이지 - 이를테면 셋,set or 세트,set 에 적을지.. 일단 여기에.
{
리스트,list와의 차이점: 순서,order를 고려하지 않는다(따라서 index, slicing 등은 없다), 중복duplication은 무시.... etc

집합의 원소는 should be hashable? PL에 따라?

Python의 경우 (del ok)
{
공집합,empty_set e 만들기 : e = set()

연산자의 경우 다음과 같이 산술 연산자를 재활용함, 그리고 해당 method도 열거하면
membership, ∈ in
union, ∪ | union
intersection, ∩ & intersection
차집합, set difference, relative complement - difference
부분집합 여부, ⊂ <= issubset
개수, cardinality len() 함수

기타 methods
add()
remove()
pop()
clear()
update() <- Google:python set update.method이미 있는 건 무시하고 없는 건 추가? chk
}

MKLINK
disjoint_set
}

[edit]

12. twins