코시-슈바르츠_부등식,Cauchy-Schwartz_inequality

$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\ge(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$

임의의 실수 $x_1,x_2,\cdots,x_k$ 와 $y_1,y_2,\cdots,y_k$ 에 대해 다음이 성립.

$(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ky_k)^2\le(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_k^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_k^2)$

$a_i,b_i\in\mathbb{R}$
$\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)^{\frac12} \left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)^{\frac12} \ge \left| \sum_{i=1}^{n}a_ib_i \right|$

벡터,vector로 나타내면

$|\vec{x}| |\vec{y}| \ge |\vec{x} \cdot \vec{y}|$

등식이 될 필요충분조건은 두 벡터가 평행? CHK

$\mathbb{R}^n$ 의 임의의 벡터 $\vec{x},\vec{y}$ 에 대해 다음이 성립.

$|\vec{x}\cdot\vec{y}|\le ||x||\, ||y||$

단, 등호는 $\vec{x},\vec{y}$ 중 하나가 다른 것의 실수배일 때만 성립.

정리)
$|\vec{a}\cdot\vec{b}| \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$

Pf.
$\vec{a}=(a_1,\cdots,a_n)$
$\vec{b}=(b_1,\cdots,b_n)$
$(a_1-tb_1)^2+(a_2-tb_2)^2+\cdots+(a_n+tb_n)^2 \ge 0 \quad \forall t$
$(b_1^2 + \cdots + b_n^2)t^2 - 2(a_1b_1 + \cdots + a_nb_n)t + (a_1^2 + \cdots + a_n^2) \ge 0 \quad \forall t$
판별식,discriminant $D/4=(a_1b_1+\cdots+a_nb_n)^2-(a_1^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+\cdots+b_n^2)\le 0$
$(\vec{a}\cdot\vec{b})^2 \le |\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2$
$|\vec{a}\cdot\vec{b}| \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$

(저기서 얻을 수 있는) 결론:
$-1\le \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\le 1$

그리고 $\theta\in[0,\pi]$ 에 대해,
$\exists!\theta$ such that $\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\cos\theta$
$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$

즉 임의의 n차원 공간에서 내적,inner_product을 가지고 두 벡터,vector사이의 각,angle을 정의할 수 있다.
순수하게 대수적인 것에서 기하적인 것을 뽑아낸 예.

from 김도형 http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1141060 5. 35m