어떤 함수와 유사한 [[다항식,polynomial]]. from 수학백과 테일러 다항식 { 단 그 함수는 충분한 횟수로?? 미분가능한 함수여야되고 x 위치는 특정한 x=... 근방에서? 1차일 때는 [[선형근사,linear_approximation]](함수는 [[선형화,linearization]])이고 그걸 일반화한게 n차일 때의 테일러 근사(함수는 '''테일러 다항식''')? } 수학백과 Ndict:테일러정리 참고. 그러면 [[평균값정리,mean_value_theorem,MVT]]와의 관계 있음 [[테일러_정리,Taylor_theorem]] $f$ 가 $n$ 번 미분 가능한 함수일 때, $n$ 번째 테일러 다항식 $T_n(x)\;\textrm{\small at}\;a\in\mathbb{R}$ 은 $T_n(a)=f(a),$ $T_n'(a)=f'(a),$ $T_n^{\prime\prime}(a)=f^{\prime\prime}(a),$ $\vdots$ $T_n^{(n)}(a)=f^{(n)}(a)$ (여기에 설명 추가, 위에서 아래로 어떻게 전개?) $T_n$ is given by the following formula $T_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ x=0일 때 Taylor polynomial은, The n^^th^^ Taylor polynomial of e^^x^^ at 0 is $1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}$ = 고등학생을 위한 고급미적 = $f(x)$ 가 $c$ 를 포함하는 열린구간에서 $n$ 번 미분 가능할 때, 다항식 $P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k$ $=f(c)+f'(c)(x-c)+\frac{f''(c)}{2!}(x-c)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n$ 를 $c$ 를 중심으로 하는 $f(x)$ 의 $n$ '''차 테일러 다항식'''이라고 부른다. 또한 $R_n(x)=P_n(x)-f(x)$ 를 $n$ 차 테일러 다항식의 '''나머지'''라고 부른다. = TOCLEANUP completely = 다항식이 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ 이고 $x=x_0$ 일 때의 모양을 알기 위하여? $f(x_0)$ 를 지나는 여러 선을 생각?? $T_n(x)$ 를 다음과 같이 정하면 $T_0(x)=a_0$ 즉 상수함수, degree 0 polynomial $T_1(x)=f_0+f'(x_0)(x-x_0)$ 즉 [[접선,tangent_line]], degree 1 polynomial ... 계속 이 짓거리를 해서 점점 근접하게 만들 수 있다. [[근사,approximation]] = Stewart = from [[https://www.stewartcalculus.com/media/7_inside_topics.php stewart calculus: additional topics]] [[https://www.stewartcalculus.com/data/CALCULUS%206E/upfiles/topics/6e_at_02_frtts.pdf pdf]] [[테일러_급수,Taylor_series]]의 나머지 항 공식. 테일러 급수: $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ $n$ 번째까지의 [[부분합,partial_sum]]은 $n$ th-degree '''Taylor polynomial''' of $f$ at $a:$ $T_n(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ 그래서 $f(x)=T_n(x)+R_n(x)$ [[구간,interval]] $|x-a|