기호: d, $d$ 대신 ∂, $\partial$ ("partial"로 읽음) 사용 (TeX symbol \partial)

편도함수를 구한다 = 편미분한다

$f(x,y)$ 를 $x$ 에 대해 편미분했다면,
$f(x,y)$ 의 $x$ 에 관한 편도함수:

$f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$

$f(x,y)$ 를 $y$ 에 대해 편미분했다면,
$f(x,y)$ 의 $y$ 에 관한 편도함수:

$f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}$

일변수함수 $f(x)$ 의 $x$ 에 대한 미분은

$f_x(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

다변수함수 $f(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_n)$ 의 독립변수,independent_variable $x_i$ 에 대한 편미분은

$f_{x_i}(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_n)$
$=\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_n)$
$=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_1,\ldots,x_i+h,\ldots,x_n)-f(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_n)}{h}$

(from 수학백과: 편미분)

1. 표기 notation
2. Clairaut's theorem
3. 편미분방정식(PDE)
4. 연쇄법칙,chain_rule
5. 미분과 편미분의 비교(도함수와 편도함수의 비교)
6. etc

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1. 표기 notation ¶

∂를 쓰는 Leibniz방식과, subscript notation이 있음.

$f_{xx}=(f_x)_x=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}$
$f_{xy}=(f_x)_y=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$
$f_{yx}=(f_y)_x=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$

tmp see also / tmp curr goto 미적분,calculus#s-5.1

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2. Clairaut's theorem ¶

f(x, y)가 점 (a, b) 주변의 모든 점에서 f_xy, f_yx가 존재하고 연속이면

$f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$

편미분 '교환법칙'
즉 교환법칙,commutativity과 유사? 일종?

$\mathbb{R}^2$ 의 열린집합,open_set에서 정의된 함수 $f(x,y)$ 가 정의역의 점 $p$ 에서 두번 미분가능하면,

$f_{xy}(p)=f_{yx}(p)$

이다. 평균값정리,mean_value_theorem,MVT로 증명한다.[1]

see also (short) 아래 '수학백과: 편미분'의 4.편미분 교환법칙

비슷한 느낌의 정리가 푸비니_정리,Fubini_theorem

Twins:

수학백과: 편미분 교환법칙

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3. 편미분방정식(PDE) ¶

편미분방정식,partial_differential_equation,PDE

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4. 연쇄법칙,chain_rule ¶

1변수의 경우,
Leibniz's notation으로는
${dz\over dx}={dz \over dy}\cdot{dy \over dx}$

2변수라면?

$z=f(x,y),$
$x=g(t),\; y=h(t)$ : 미분가능

$\rightarrow z=f(g(t),h(t)),\; t\mapsto z$

$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt}$

그리고...

$\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial t}$

cleanup

Notation:

$\begin{pmatrix}\frac{\partial z}{\partial s}&\frac{\partial z}{\partial t}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\partial z}{\partial x}&\frac{\partial z}{\partial y}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial s}&\frac{\partial x}{\partial t}\\ \frac{\partial y}{\partial s}&\frac{\partial y}{\partial t}\end{pmatrix}$

이것은