#noindex
TODO MKCLEAR "functional space" 라는 표현이 있는데 확실히 disambig.
Ggl:"functional space vs functional space"
Ggl:"functional space functional space difference"
WtEn:function_space
WtEn:functional_space
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//tmp from wpen
두 고정된 집합 사이의 함수들의 집합.
...article에 있는 수식만 써보면
 $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
 $(c\cdot f)(x)=c\cdot f(x)$
(compare [[선형성,linearity]])

<<tableofcontents>>

= tmp 1 CHK =
//tmp from https://m.blog.naver.com/spin898/221144108938
//글제목 [[스칼라곱,scalar_product,dot_product|Dot product]](2) - function space

([[벡터,vector]] - [[함수,function]])의 [[대칭성,symmetry]] 관계를 언급.

[[벡터,vector]]와 [[함수,function]]의 {크기, 내적, 직교} 조건을 비교하면
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내적 ''// [[스칼라곱,scalar_product,dot_product]] [[내적,inner_product]]''
벡터의 내적
 $\vec{A}\cdot\vec{B}=\sum_{i=1}^{n}A_iB_i$
함수의 내적 ''// *는 conjugate.''
 $\langle A|B \rangle = \int_a^b A^{*}(x)B(x)dx$
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크기 ''// [[측도,measure]]? [[노름,norm]]?''
벡터의 크기
 $\left| \vec{A} \right| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}A_i^2}$
함수의 크기 ''// dx빠진듯.....''
 $|A(x)|=\sqrt{\langle A|A \rangle}=\sqrt{\int_a^b A^*(x)A(x)}$
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직교조건 ''// [[직교성,orthogonality]]''
벡터의 직교조건
 $\vec{A}\cdot\vec{B}=0$
함수의 직교조건
 $\langle A|B \rangle=0$
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이상 세가지를 보면 symmetric하다고.. (see [[대칭성,symmetry]])

[[브라켓표기법,bra-ket_notation]]
 $\langle A| = \int_a^b A^*(x)[\quad\quad]dx$
 $|B\rangle = \begin{bmatrix}B_1\\B_2\\B_3\\\vdots\end{bmatrix}$

$A\cdot$ <- 이것 자체가 일종의 [[연산자,operator]]

bra를 이렇게 표현 가능
 $\langle A| = \begin{bmatrix} A_1^* & A_2^* & A_3^* & \cdots\end{bmatrix}$
함수의 직교 조건. 구간 $a\le x\le b$ 에서 다음을 만족하는 경우 두 함수 $A,B$ 는 직교.
 $\langle A|B\rangle=\int_a^b A^*(x)B(x)dx=0$

이하 이런것들 차례로 언급
[[그람-슈미트_과정,Gram-Schmidt_process]],
[[완전성,completeness]]을 갖추기 위한 함수(벡터)들의 집합의 조건, ''// 혹시 [[완비성,completeness]]?''
[[론스키언,Wronskian]] - 함수들의 집합이 [[선형독립,linear_independence]]인지 판단하는 방법,
[[내적공간,inner_product_space]]과 내적공간에 존재하는 서로 독립적이며 서로 내적이 0인 함수들인
[[직교함수,orthogonal_function]](curr at [[직교성,orthogonality]]). 함수공간에서는
[[코시-슈바르츠_부등식,Cauchy-Schwartz_inequality]] 또한 그대로 성립.
 $\left|\int_a^b A^*(x)B(x)dx\right|^2\le \left(\int_a^b A^*(x)A(x)dx\right) \left(\int_a^b B^*(x)B(x)dx\right)$
[[파동함수,wave_function]]는 [[슈뢰딩거_방정식,Schroedinger_equation]]의 [[해,solution]]이며 무한차원을 가질 수 있고 무한차원 [[유클리드_공간,Euclidean_space]]은 [[힐베르트_공간,Hilbert_space]]이고 이건 완전한 내적공간....
슈뢰딩거방정식의 "일반적인 형태의 해"는
무한차원공간에 표현된 "임의의 벡터"와 같은 의미

= Bmks ko =
위상수학에서의 함수공간 https://freshrimpsushi.github.io/posts/function-space/
여러가지 함수공간 https://freshrimpsushi.github.io/posts/various-function-space/

= TBW 벡터공간과의 비교 =
[[벡터공간,vector_space]]과 유사.
//tmp from https://youtu.be/tZIcpm1-E1w?si=616TtDrif-7mcAIf&t=876
벡터
 $\vec{v}=\sum_{i=1}^{\infty}v_i\hat{e_i}$
 $\vec{v}=\sum_{i=1}^{\infty}\underbrace{v_i}_{\uparrow\atop{\rm component}}\underbrace{\hat{e_i}}_{\uparrow\atop\text{basis}}$
함수
 $F(x)=\sum_{i=1}^{\infty}c_i f_i(x)$
 $F(x)=\sum_{i=1}^{\infty}\underbrace{c_i}_{\uparrow\atop\text{coefficient}}\underbrace{f_i(x)}_{\uparrow\atop\text{basis}}$
[[규격화,normalization]] {  "(틀)맞춤, 규격화" via KpsE:normalization }:
 $\int_0^a f_i(x) f_j(x) dx = \delta_{ij}\begin{cases}N,&\text{if }\,i=j\\0,&\text{if }\,i\ne j\end{cases}$ 인 경우 scaling factor를 써서 $f(x)\to\frac1{\sqrt{N}}f(x)$ 로 치환하는 것: "basis를 normalization하기"

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Twin:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=2426172&cid=60208&categoryId=60208 수학의 세계: 함수공간]]
[[WpKo:함수_공간]]
[[WpEn:Vector_space#Function_spaces]]
[[WpEn:Function_space]]
https://mathworld.wolfram.com/FunctionSpace.html
https://planetmath.org/functionspace
 의 notation 목록 (많음) 보면 [[연속성,continuity]]/[[매끄러움,smoothness]]/...-rel 기호 C^^뭐뭐^^ 이것들이랑 [[적분가능성,integrability]]-rel 기호 L^^뭐뭐^^(이건 아마 0/1/2/p/∞ 가 나오는 걸 보니 rel. metric, [[노름,norm]] 의 L-뭐뭐 관련인데, chk and 정확한 관계 tbw) 이것들 등등 기호 정리 있음

[[WpSimple:Function_space]]

Up: [[함수,function]] [[공간,space]] topological_vector_space ( [[벡터공간,vector_space]] and [[위상공간,topological_space]]?? ) [[선형대수,linear_algebra]]? [[함수해석,functional_analysis]]?