[[정사각행렬,square_matrix]]에 어떤 한 수를 대응시키는 함수/연산. 정사각행렬에서만 정의되며 스칼라이다. $\det:\mathbb{R}^{n\times n}\to\mathbb{R}$ 1×1 행렬에서는 $A=[a]$ 일 때 $|A|=a$ 2×2 행렬에서 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ 이면 그 행렬식은 $\det(A)=\begin{vmatrix} a&b\\c&d \end{vmatrix}=ad-bc$ 3×3 행렬에서 ......TBW 여러 방법이 있는데, 사루스_규칙? Sarrus_rule (writing) { WpEn:Rule_of_Sarrus ... Google:sarrus+rule } <- 3x3에서만. [[cofactor_expansion]] = [[Laplace_expansion]] (curr goto [[여인수,cofactor]]) (is an [[전개,expansion]]) and? (TODO '행렬식 구하는 법'을 별도의 문단으로 mk) 표기 행렬 $A$ 의 행렬식: $\det(A)$ 또는 $|A|$ 후자는 [[절대값,absolute_value]]과 표기가 같은데 이유? $||A||$ 는 행렬식의 절대값을 의미. [[노름,norm]]과의 관계는? Sub: 특성행렬식(characteristic determinant) characteristic_determinant - 별거 아니고 det(A-λI). [[특성다항식,characteristic_polynomial]]과 마찬가지? 이걸 0으로 놓으면 [[특성방정식,characteristic_equation]]. (via: [[고유값,eigenvalue]]의 앞부분 Kreyszig 인용) [[resultant]] <> = 나눌 것 = 어떤 행렬의 [[역행렬,inverse_matrix]] 존재 여부 판별 도구. 즉 [[가역행렬,invertible_matrix]]인지 여부 판별 도구. 어떤 행렬 A의 '''행렬식 값''' det(A)=0 : ∄A^^−1^^ : A는 역행렬을 갖지 않는다. det(A)≠0 : ∃A^^−1^^ : A의 역행렬이 존재한다. i.e. [[가역행렬,invertible_matrix]]은 '''행렬식'''이 0이 아니다. ---- 기하적으로는, (대충) ~가''([[벡터,vector]]s들?)'' (서로 종속이 아니고 독립이어서) [[넓이,area]] [[부피,volume]] ''(.... 일반적으로 [[hypervolume]]?)'' 을 만들 수 있는지 '결정하는가'(hence the name)를 알려주는? 2차정사각행렬의 '''행렬식'''의 절대값은 두 벡터로 이루어진 평행사변형의 [[넓이,area]], // 참고: (proof without words) determinant = area? https://lazymatlab.tistory.com/173 3차정사각행렬의 '''행렬식'''의 절대값은 세 벡터로 이루어진 평행육면체의 [[부피,volume]] CHK [[선형변환,linear_transformation]]의 스케일(scale) 성분을 나타낸다. '''det'''의 부호에 따라 양이면 도형의 방향(orientation)이 보존되고, 음이면 도형의 방향이 보존되지 않는다. [* https://darkpgmr.tistory.com/104] 행렬에 의한 선형변환에 따른 면적 혹은 체적 변화율을 알아내고자 '''행렬식'''을 쓸 수 있다. ----- [[판별식,discriminant]]과 관계는? 어떤 구조에서 특징을 나타내는 실수 하나를 이끌어내본다 뭐 그런 아이디어는 비슷한 듯 한데 [[라플라스_전개,Laplace_expansion]] = 여인수 전개로 구할 수 있음. see [[여인수,cofactor#s-2]] ('''행렬식'''을 구하는 방법 중 하나) = 성질 // from KUIAI, CHK = ## https://youtu.be/4ej1O7ZJe94?t=1331 기본연산과 행렬식 $n\times n$ 행렬 $A,B$ 에 대해 * A의 두 행(열)을 교환한 행렬이 B: $\det B=-\det A$ * A의 한 행(열)에 스칼라 c를 곱한 행렬이 B: $\det B=c\det A$ * 행렬의 스칼라 곱: $\det cA=c^n \det A$ * A의 k번째 행(열)의 상수배를 j번째 행(열)에 더한 행렬이 B: $\det B=\det A$ * A의 두 행(열)이 비례할 경우: $\det A=0$ * [[삼각행렬,triangular_matrix]] 및 [[대각행렬,diagonal_matrix]]의 행렬식: 주대각선 성분의 곱 * [[항등행렬,identity_matrix]]의 행렬식: $\det I=1$ * [[전치,transpose]] 연산: $\det A^T=\det A$ * det(AB)=det(A)det(B) $\det AB = (\det A)(\det B)$ * A가 [[가역행렬,invertible_matrix]]이면 $\det A\ne 0$ 이고, $\det A^{-1}=1/\det A$ 이유는 간단. $AA^{-1}=I$ 이므로 $\det A\cdot\det(A^{-1})=\det I=1$ * A가 비가역행렬이면 $\det A=0$ = tmp links ko = [[직선,line]]의 방정식, 공선성collinearity, .. 과의 관계: http://blog.naver.com/mykepzzang/221087959141 참조. 행렬식의 성질 및 행렬의 동등정리(equivalent theorem): ''equivalence thm 아닌가?'' http://blog.naver.com/mykepzzang/221121796109 (가역성(related: [[가역행렬,invertible_matrix]])은 매우 다양한 형태로 나타난다는 것을 알 수 있음.) 행렬식 관련 특성들 몇가지 https://m.blog.naver.com/sw4r/221921845987 행렬식의 귀납적 정의 https://aerospacekim.tistory.com/111 = Wronskian = Sub: [[론스키언,Wronskian]] = Jacobian determinant = 야코비 행렬식(Jacobian determinant): 야코비 행렬(Jacobian matrix)의 행렬식 See [[야코비안,Jacobian]] = Vandermonde determinant = [[방데르몽드_행렬,Vandermonde_matrix]]의 '''행렬식'''인 [[방데르몽드_행렬식,Vandermonde_determinant]] - 작성중.. Google:방데르몽드+행렬식 Naver:방데르몽드+행렬식 = Moore determinant = curr see WpEn:Moore_matrix 저것의 행렬식은 WpEn:Moore_determinant_over_a_finite_field 다만 WpEn:Moore_determinant_of_a_Hermitian_matrix 도 있음에 주의 = Dieudonné determinant = WpEn:Dieudonné_determinant https://ncatlab.org/nlab/show/Dieudonné+determinant … Google:Dieudonné+determinant = Gram determinant = [[Gram_determinant]] w [[Gram_matrix]]의 '''행렬식,determinant'''. Ggl:"Gram determinant" = 성질 = 같은 크기의 정사각행렬 A, B에 대해 $|AB|=|A| |B|$ 이유? = 삼중곱과의 관계 및 행렬식의 세 조건 = [[삼중곱,triple_product]]과의 관계 (삼중곱은 바로 앞에서 설명함) 그리고 임의의 n차원에서 세 가지 조건을 만족하는 함수가 항상 있으며 그게 바로 determinant라는 ..? chk See 김도형 http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1141060 5. (3차원 좌표체계, 내적과 외적) 1h:22m 대충 적으면, 2차원 평면과 그 위의 두 벡터 a,,1,, a,,2,, 가 있을 때, 두 벡터로 결정되는 평행사변형의 [[넓이,area]]함수 A(a,,1,,, a,,2,,)가 있으면 A는 다음을 만족 ① D(e,,1,,, e,,2,,)=1 ② A(λa,,1,,, a,,2,,)=λA(a,,1,,, a,,2,,) 그리고 A(a,,1,,, λa,,2,,)=λA(a,,1,,, a,,2,,) ③ A(a,,1,,+a,,2,,, a,,2,,) = A(a,,1,,, a,,1,,+a,,2,,) = A(a,,1,,, a,,2,,) 이상 2차원 얘기였고 2차원에선 이게 ad−bc 바로 그거이고 3차원에선 벡터가 세개이며 [[부피,volume]] n차원에서도 성립 = 비교: 퍼머넌트 permanent = [[퍼머넌트,permanent]] { [[정사각행렬,square_matrix]]의 '''퍼머넌트'''는...tbw ex. 2x2일 때 $\text{perm}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad+bc$ via https://brunch.co.kr/@sjoonkwon0531/21 { det의 계산은 P class - $\mathcal{O}(n^3)$ 이지만 perm의 계산은 그렇지 않다 - 훨씬 어렵다. 비교적 간단한 square mtx의 perm 계산도 NP-hard. } [[WpKo:퍼머넌트]] [[WpEn:Permanent_(mathematics)]] 그리고 determinant와 permanent의 일반화는 [[이머넌트,immanant]] ? [[WpEn:Immanant]]라고 한다. https://mathworld.wolfram.com/Immanant.html https://mathworld.wolfram.com/Permanent.html https://planetmath.org/permanent } = 표기법에 대해 (김홍종) = 정사각행렬 A의 행렬식을 기호 det A로 나타내는 대신에 |A|로 쓰는 저자도 있다. 이 편리한(?) 기호는, A의 절댓값을 나타내는 기호와 약간 혼동을 주고, 더 나아가서 치환적분법에서 중요하게 나타나는 행렬식의 절댓값을 ‖A‖로 나타내야 하는 부담을 준다. 우리는 기호 "det A"를 쓰기로 한다. 행렬식을 결정식이라고 부르는 이도 있다. (김홍종 미적1+ p260 행렬식 각주) ---- 이름은 '[[결정,determination]]'에서. MKL [[벡터,vector]] (아래의 경우 각각 2x2 행렬의 두 벡터, 3x3 행렬의 세 벡터 얘기) 2D 평면에서 두 벡터를 같은 시점으로 놓아 [[평행사변형,parallelogram]]을 만들어 0이 아닌 [[넓이,area]]를 가지는가 여부를 '''결정'''함. 3D 공간에서 세 벡터를 같은 시점으로 놓아 [[평행육면체,parallelepiped]]를 만들어 0이 아닌 [[부피,volume]]를 가지는가 여부를 '''결정'''함. (종속([[종속성,dependence]])이 아닌 독립([[독립성,independence]])이어야 0이 아닌 저것을 만들 수 있음을 상기) (이정일 https://youtu.be/hIRveiSlLnY?t=2056) ---- Twins: 행렬식 https://ghebook.blogspot.com/2011/06/determinant.html (어려움) 행렬식의 기하학적 의미 https://ghebook.blogspot.com/2011/06/geometric-meaning-of-determinant.html https://ratsgo.github.io/linear%20algebra/2017/05/21/determinants/ 3Blue1Brown: The determinant https://www.youtube.com/watch?v=Ip3X9LOh2dk https://everything2.com/title/Determinant https://mathworld.wolfram.com/Determinant.html (긺) [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338357&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 행렬식]] [[WpEn:Determinant]] [[WpKo:행렬식]] https://planetmath.org/determinant https://encyclopediaofmath.org/wiki/Determinant https://ncatlab.org/nlab/show/determinant Libre:행렬식 ---- Up: [[행렬,matrix]]