확률밀도함수,probability_density_function,PDF

연속확률변수,continuous_random_variable가 이루는 분포(연속확률분포,continuous_probability_distribution?)를 나타내는 함수.
연속확률변수이므로,
특정한 값 P(X=1)등이 아닌, (그럴 때는 0이 되어버림)
P(2≤X≤3) 같이 구간,interval을 입력으로 받음.

확률변수가 특정 값을 취할 확률은,
이산확률분포,discrete_probability_distribution에서는 잘 정의된다. (확률질량함수,probability_mass_function,PMF)
하지만
연속확률분포,continuous_probability_distribution에서는 항상 0이 되어버린다. (ex. (degenerate case는 제외하고) 실수 구간,interval에서 특정 숫자가 뽑힐 확률은 항상 0)
따라서 pmf가 아닌 다른 뭔가가 필요하고 그게 바로 pdf?
(내생각, CHK)

$P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)dx$

Sub:
결합확률밀도함수,joint_probability_density_function,joint_PDF
조건부확률밀도함수,conditional_probability_density_function,conditional_PDF
주변확률밀도함수,marginal_probability_density_function,marginal_PDF


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1. 성질

확률 밀도 함수의 필수 조건 두가지 (확률이므로 당연):
  1. 0 이상
  2. 그래프 아래 면적이 1
i.e.
$\forall x,\; f(x)\ge 0$
$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$

한 점 x에 대한 가능성은 0이다.
P(X=x)=0

$P(X<a)=P(X\le a)=\int_{-\infty}^{a}f(x)dx$

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2. 누적분포함수와의 관계

확률밀도함수(PDF)는 누적분포함수(CDF)의 미분으로 정의.
The Probability Density Function (PDF) is defined as the derivative of 누적분포함수,cumulative_distribution_function,CDF

따라서 PDF가 존재하려면 CDF가 미분가능해야 함.
확률밀도함수 PDF: $f_X(x)$
누적분포함수 CDF: $F_X(x)$
$f_X(x)=\frac{dF_X(x)}{dx}$
(누적한 것(cumulative)이니까, 적분한 것)

Properties of PDF
$\bullet\; f_X(t)\ge 0$
$\bullet\; \int_{-\infty}^{\infty} f_X(\xi)d\xi = F_X(\infty)-F_X(-\infty)=1$
$\bullet\; F_X(x)=\int_{-\infty}^x f_X(\xi)d\xi = P[X\le x]$
$\bullet\; F_X(b)-F_X(a)=\int_a^b f_X(\xi)d\xi = P[a<X\le b]$

The univariate normal (Gaussian) pdf:
$f_X(x)=\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$

Conversion of the Gaussian pdf to the standard Normal
$P[a<X\le b]=\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_a^b e^{-\frac12\left[\frac{x-\mu}{\sigma}\right]^2}dx = \textrm{erf}\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\textrm{erf}\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$
(Compare 정규분포,normal_distribution)
여기서
$\textrm{erf}(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^x e^{-\frac12t^2}dt$ : 오차함수,error_function
$X\sim N(\mu,\sigma^2)$

Ex. resistor tolerance
정규분포 가정, parameter μ=1000Ω, σ=200Ω인 여러 저항기에서 선택할 때
저항값 900~1100 사이에서 뽑을 확률?
P(900<X≤1100)=erf((1100-1000)/200)-erf((900-1000)/200)=erf(0.5)-erf(-0.5)=0.38

tmp from http://blog.naver.com/mykepzzang/220835810657
{
이산확률분포에선 아니지만,
연속확률분포,continuous_probability_distribution에선 딱 떨어지지 않는다.
예를 들어 물을 정확히 100 mL 따를 수 있는 확률은 0에 가깝다.
따라서 등호(=) 대신 부등호를 쓴다.
부등호 ＞와 ≥, ＜와 ≤를 구분하는 것은 의미가 없다.

연속확률변수,continuous_random_variable X에 대해
$1.\;\forall x\in\mathbb{R},\; f(x)\ge 0$
$2.\;\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$
$3.\;P(a\le X\le B)=\int_a^b f(x)dx$
를 만족하는 $f(x)$ 를 확률변수 $X$ 의 확률밀도함수라고 한다.
}

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3. 기대값과의 관계 ...다른 것도 추가함

$f$ 가 확률밀도함수일 때 기대값,expected_value은
$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$

// 그리고 평균,mean,average도? chk
$=\mu$

분산,variance은 다음 맞나 CHK
$\sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x)dx$

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4. 조건부확률밀도함수, conditional PDF

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5. Twins