'''R.V.''' 또는 '''RV''' ''이하 [[정의역,domain]]을, 쉬운 설명에서는 표본공간이라 하고 어려운 설명에서는 확률공간이라 하는데 정확히 어떤 관계인지.....chk'' 기호: 대개 $X$ 일반 [[정규분포,normal_distribution]]의 확률변수는 $X,$ [[표준정규분포,standard_normal_distribution]]의 확률변수는 $Z$ 를 쓰는 관례가 있는 듯? 그 외의 분포에 대한 확률변수 기호 TBW 정의: 표본공간에서 실수로 가는 함수. [[표본공간,sample_space]]에서 정의된 실수 [[함수,function]]. $f:S\mapsto\mathbb{R}$ 정의는 [[이산확률분포,discrete_probability_distribution]]에도 있음 // 김성범 https://youtu.be/GqDy0sInGJ0 표본공간의 각 원소에 [[실수,real_number]]를 대응시키는 함수. // Schaum Prob RV and RP '''random variable''' $X(\zeta)$ 는, single-valued real function. sample space $S$ 의 sample point $\zeta$ 에 대해 [[실수,real_number]] 하나를 대응시키는 [[함수,function]] $X(\zeta)$ 가 바로 '''확률변수'''이며 $X(\zeta)$ 를 (줄여서) single letter $X$ 만으로도 자주 표기한다. '''확률변수'''는 변수라기보다는 함수. 정의역이 표본공간 $\Omega$ 이고 치역이 실수집합의 부분집합인 함수. $\Omega{X\atop \rightarrow}\mathbb{R}$ 표본공간의 각 원소에 하나의 실수를 대응시키는 함수. //mathworld [[확률공간,probability_space]]에서 [[가측공간,measurable_space]](AKA [[상태공간,state_space]])으로 가는 [[가측함수,measurable_function]]. ///wpko 확률변수의 정의역은 확률변수의 [[확률공간,probability_space]]. 확률변수의 공역은 확률변수의 [[상태공간,state_space]]. 만약 상태공간이 [[위상공간,topological_space]]인 경우, 상태공간은 통상적으로 보렐 시그마 대수(curr see [[시그마대수,sigma-algebra]])를 사용. (반면, 보렐 시그마 대수 대신 르베그 가측집합의 시그마대수를 사용하면, 연속함수이지만 가측함수가 아닌 함수들이 존재하게 된다.) ---- 정의: 확률변수 X란, 표본공간 S 내의 각 [[결과,outcome]] ζ를 실수 X(ζ)로 대응시키는 [[함수,function]]. ## from 성대 안창욱 ---- Key Point. A '''random variable''' $X$ is a [[함수,function|function]] that maps each [[결과,outcome|outcome]] $x$ of an [[확률실험,random_experiment|experiment]] (e.g. a coin flip) to a number $X(x),$ which is the outcome value of $x.$ If the outcome value of $x$ is 1 then this may be written as $X=1,$ or as $x=1.$ (Information Theory, Stone, p. 26) ---- 한국어 ‘확률’은 영어의 여러 단어 {probability(see [[확률,probability]]), random, stochastic(see [[확률과정,stochastic_process]])}에 대응.... 사건(event) =결과 [[사건,event]] 표본공간(sample space): 모든 가능한 사건(event)의 집합 [[확률실험,random_experiment]]에서 발생 가능한 모든 [[사건,event]]의 [[집합,set]] continuous random variable 연속확률변수 RV가 가질 수 있는 값이 무한히 많음 discrete random variable 이산확률변수 RV가 가질 수 있는 값이 [[가산,countable]] mixed random variable // tmp from [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=1097107&ref=y&cid=40942&categoryId=32215 두산백과: pdf]] { ALSOIN [[확률밀도함수,probability_density_function,PDF]] || ||[[이산확률변수,discrete_random_variable|이산 RV]] ||[[연속확률변수,continuous_random_variable|연속 RV]] || || ||pmf의 자리? (설명에 그냥 확률 P를 씀) ||[[확률밀도함수,probability_density_function,PDF|pdf]] $f(x)$ || ||[[평균,mean,average]] $m$ ||$\sum X \cdot P(X)$ ||$\int x \cdot f(x)$ || ||[[분산,variance]] $\sigma^2$ ||$\sum X^2 \cdot P(X)-m^2$ ||$\int x^2 \cdot f(x) - m^2$ || // 적분식 뒤에 $dx$ 를 생략했네? RV / distribution / function / 시각화 이산확률변수 ⇒ 이산확률분포 ⇒ 확률질량함수 ⇒ 이산확률분포표 연속확률변수 ⇒ 연속확률분포 ⇒ 확률밀도함수 ⇒ 확률밀도함수그래프 } Sub: [[이산확률변수,discrete_random_variable]] (셀 수 있는(countable) 확률 변수, [[확률질량함수,probability_mass_function,PMF]]와 연관) [[베르누이_확률변수,Bernoulli_random_variable]] [[푸아송_확률변수,Poisson_random_variable]] [[이항확률변수,binomial_random_variable]] [[기하확률변수,geometric_random_variable]] [[균등확률변수,uniform_random_variable]] [[음이항확률변수,negative_binomial_random_variable]] constant_random_variable WpEn:Constant_random_variable redir. to: WpEn:Degenerate_distribution (on section 1) Rel. [[퇴화분포,degenerate_distribution]] '''constant random variable''' Up: [[이산확률변수,discrete_random_variable]] [[연속확률변수,continuous_random_variable]] (값을 셀 수 없음(uncountable), [[확률밀도함수,probability_density_function,PDF]]와 연관) 이항확률변수: see [[이항분포,binomial_distribution]] 초기하확률변수: see [[초기하분포,hypergeometric_distribution]] 기하확률변수: see [[기하분포,geometric_distribution]] 벡터확률변수 vector random variable 지시확률변수 indicator random variable [[지시확률변수,indicator_random_variable]] { 관심있는 어떤 [[사건,event]]이 있을 때, 사건이 일어나면 1, 안 일어나면 0인 확률변수. [[사건,event]] A의 '''지시변수'''는, 사건 A가 일어나면 1, 일어나지 않으면 0으로 정의되는 확률변수. 기호: $I_A,\chi_A,1_A$ 사건 $B$ 의 지시변수의 [[기대값,expected_value]]은 사건 $B$ 가 일어날 확률과 같음. $\text{E}(I_B)=\text{P}(B)$ [[베르누이_확률변수,Bernoulli_random_variable]]와 same?? 차이가 있다면? [[지시함수,indicator_function]]와 비슷한데? [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338499&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 지시변수]] Up: [[지시,indication]] [[확률변수,random_variable]] } [[고른확률변수,uniform_random_variable]] { [[고른분포,uniform_distribution]] } ---- [[IID,independent_and_identically_distributed]] { '''independent and identically distributed, i.i.d., iid''' 독립항등분포/독립동일분포/ [[확률변수,random_variable]] 여러 개의 성질. * 서로 독립이며, * 동일한 [[확률분포,probability_distribution]]를 가질 때 iid라 함. 어떤 논의를 펼치기에 앞서 쓰이는 가정(assumption)인 경우가 많은듯? CHK [[WpEn:Independent_and_identically_distributed_random_variables]] mv from [[RR:i.i.d.]] ---- (정보이론)[[엔트로피,entropy]] 관련 $n$ 개의 i.i.d 확률변수로 이뤄진 sequence 하나를 뽑으면, (원문: If we draw a sequence of n IID RVs,) "typical(전형적인/대표적인)" sequence의 확률은 대략 $2^{-nH(X)}$ 이며 그런 sequence는 대략 $2^{nH(X)}$ 개가 있다. 이 성질(asymptotic equipartition property AEP라고 알려진)은 정보이론의 많은 증명의 basis가 된다. (Cover Thomas p6) asymptotic_equipartition_property -> WpEn:Asymptotic_equipartition_property ---- Up: [[확률변수,random_variable]] [[확률,probability]] and [[통계,statistics]] } [[고른분포,uniform_distribution]]와 iid의 관계 정확히? TBW. <> = 확률변수로 정의하는 사건 = (Schaum's outline: Events defined by random variables) $X$ 가 '''확률변수'''(r.v.)이고 $x$ 가 [[실수,real_number]]라면 [[사건,event]] $(X=x)$ 를 다음과 같이 정의. $(X=x)=\{\zeta:\,X(\zeta)=x\}$ 마찬가지로 $(X\le x)=\{\zeta:\,X(\zeta)\le x\}$ 등으로 정의할 수 있음. 그러한 사건들의 [[확률,probability]]은 $P(X=x)=P\{\zeta:\,X(\zeta)=x\}$ 로 표기. ---- from [[http://kocw-n.xcache.kinxcdn.com/data/document/2017/kumoh/kojaepil0302/8.pdf this kocw pdf file]], chk { page 4 $P(X=x)=P_X(x)=P(x)$ 다 같은 표현. page 10 확률변수 $X$ 의 분포함수가 $P$ 또는 $p$ 이다. ( [[확률분포,probability_distribution]]가 [[연속확률분포,continuous_probability_distribution|연속분포]]일 때는 [[확률밀도함수,probability_density_function,PDF|PDF]] $p(x)$ 이고, [[이산확률분포,discrete_probability_distribution|이산분포]]일 때는 [[확률질량함수,probability_mass_function,PMF|PMF]] $P(x)$ ) 이 때 확률변수 $X$ 의 [[기대값,expected_value]] 공식은 $E[X]=\sum_x xp(x)$ $E[aX+b]=\sum_x (ax+b)p(x)$ $E[f(X)]=\sum_x f(x)p(x)$ } ---- ''related: [[확률,probability]], [[사건,event]]'' = 확률변수의 독립 = RV X, Y가 독립이기 위한 필요충분조건: －∞ < x < ∞, －∞ < y < ∞ 에 대하여, [[결합확률밀도함수,joint_probability_density_function,joint_PDF]] f: $f(x,y)=g_1(x)\cdot g_2(y)$ $g_1$ : x만의 음이 아닌 함수 $g_2$ : y만의 음이 아닌 함수 See also [[독립성,independence#s-3]] = 확률변수의 기대값 = See [[기대값,expected_value]] ---- // ㄷㄱㄱ Expectation: a fixed value that represents the value of a '''random variable'''. ---- 확률변수 X의 [[확률분포,probability_distribution|확률분포]]가 다음 표와 같을 때, ||$X$ ||$x_1$||$x_2$||$\cdots$||$x_n$|| ||[[확률,probability|확률]] ||$p_1$ ||$p_2$ ||$\cdots$ ||$p_n$|| 확률변수 X의 기대값(또는 평균)은 다음과 같이 정의. > $\text{E}(X)=\sum_{i=1}^n x_i p_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n$ ||데이터 ||평균 || ||확률변수 ||평균 = 기대값 || [[데이터,data]]의 경우 평균이라 하고, ''(기대값이라고는 하지 않고?)'' 확률변수의 경우 평균과 기대값이 같은 뜻이다. ''(둘 다 쓰인다)'' 확률변수의 평균을 기대값이라고 하는 것은 확률변수의 값을 실제로 ''(무작위로?)'' 관측해볼 때 '평균적으로 기대되는 값'이라는 의미이다.[* 통계가 빨라지는 수학력 p291] mklink [[평균,mean,average]] = 확률변수의 표준화 = 확률변수 X에서 새로운 확률변수 Z를 만들어 내는 것. 방법은, $Z=\frac{X-E(X)}{s(X)}$ 즉, $Z=\frac1{s(X)}X-\frac{E(X)}{s(x)}$ 여기에 $Y=aX+b$ 일 경우 $E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b$ 라는 사실을 적용하면, $E(Z)=\frac1{s(X)}E(X)-\frac{E(X)}{s(X)}=\frac{E(X)-E(X)}{s(X)}=0$ 또한 $Y=aX+b$ 일 경우 $V(Y)=a^2 V(X)$ 이며 $s(Y)=as(X)$ 라는 사실 중 후자를 적용하면, $s(Z)=\frac1{s(X)}s(X)=1$ 즉 어떤 확률변수 X에 대해서도, 저 변환식으로 만든 새로운 확률변수 Z는, 반드시 [[평균,mean,average|평균]]이 0이고 [[표준편차,standard_deviation|표준편차]]가 1이 된다. 이것은 평균이 0이고 표준편차가 1인 확률변수에 대해서만 다양한 성질을 조사해두면 다른 모든 확률변수에 그 결과를 응용할 수 있다는 뜻이다. (나가노 히로유키) 관련 내용 [[표준정규분포,standard_normal_distribution]]에서도 언급. = 확률변수의 합의 기대값(평균) = 확률변수 $X$ 는 $x_1,x_2,x_3$ 에서 어떤 값을 갖고 확률변수 $Y$ 는 $y_1,y_2$ 에서 어떤 값을 갖는다고 하자. 이 $X,Y$ 에 대해 $Z=X+Y$ 로 정의되는 새로운 확률변수 $Z$ 를 생각하기로 하자. 예를 들어 $X=x_1 \;\text{and}\; Y=y_2$ 가 되는 확률을 $p_{12}$ 로 나타내기로 하면, $X,Y$ 의 분포는 다음과 같이 2차원 표로 나타난다. || ||$x_1$ ||$x_2$ ||$x_3$ ||계 || ||$y_1$ ||$p_{11}$ ||$p_{21}$ ||$p_{31}$ ||$v_{1}$ || ||$y_2$ ||$p_{12}$ ||$p_{22}$ ||$p_{32}$ ||$v_{2}$ || ||계 ||$u_1$ ||$u_2$ ||$u_3$ ||$1$ || 이와 같이 X와 Y의 확률분포를 한 표로 정리한 것을 확률변수 X와 Y의 동시분포(=[[결합확률분포,joint_probability_distribution]]?)라고 한다. $X=x_1$ 이 되는 확률을 $u_1$ 이라 하면, $u_1=p_{11}+p_{12}$ 이다. (둘은 상호배반(동시에 일어나지 않음, P(A∪B)=P(A)+P(B))이므로 단순히 더할 수 있다.) // 영어? mutually_disjoint? mutual_disjointness? mutually_exclusive? mutual_exclusion?(이건 mutex쪽이 생각나는데 아무튼) .... Srch:mutually 같은 방식으로 $Y=y_1$ 이 되는 경우의 확률인 $v_1$ 은 $p_{11}+p_{21}+p_{31}$ 이다. X와 Y의 확률분포를 각각 따로 표로 만들면 다음과 같다. ||X||x,,1,,||x,,2,,||x,,3,,||계|| ||확률||u,,1,,||u,,2,,||u,,3,,||1|| E(X)=x,,1,,u,,1,,+x,,2,,u,,2,,+x,,3,,u,,3,, ||Y||y,,1,,||y,,2,,||계|| ||확률||v,,1,,||v,,2,,||1|| E(Y)=y,,1,,v,,1,,+y,,2,,v,,2,, 이렇게 준비하고 E(Z)=E(X+Y)를 계산해보면 E(Z)=E(X+Y) =(x,,1,,+y,,1,,)p,,11,,+(x,,2,,+y,,1,,)p,,21,,+(x,,3,,+y,,1,,)p,,31,,+(x,,1,,+y,,2,,)p,,12,,+(x,,2,,+y,,2,,)p,,22,,+(x,,3,,+y,,2,,)p,,32,, =x,,1,,(p,,11,,+p,,12,,)+x,,2,,(p,,21,,+p,,22,,)+x,,3,,(p,,31,,+p,,32,,)+y,,1,,(p,,11,,+p,,21,,+p,,31,,)+y,,2,,(p,,12,,+p,,22,,+p,,32,,) =x,,1,,u,,1,,+x,,2,,u,,2,,+x,,3,,u,,3,, + y,,1,,v,,1,,+y,,2,,v,,2,, =E(X)+E(Y) 따라서 E(X+Y)=E(X)+E(Y)인 것을 확인할 수 있다. //// del ok 확률변수 $X,Y$ 에 대해 > $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ 그리고 이 식의 성질을 되풀이해 사용하면 합의 기대값(평균)에 대해 일반적으로 다음 식이 성립한다. 확률변수 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 에 대해 > $E(X_1+X_2+\cdots+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_n)$ mklink [[합,sum]] [[덧셈,addition]] [[기대값,expected_value]] [[평균,mean,average]] (나가노 히로유키) = 확률변수의 곱의 기대값(평균) = 위와 같은 전개과정이 있으나 아무튼 결론은 (단 확률변수가 독립일 경우에만 해당. [[독립성,independence#s-3]]) 확률변수 $X,Y$ 가 상호 독립일 때 > $E(XY)=E(X)E(Y)$ mklink [[곱,product]] [[곱셈,multiplication]] [[기대값,expected_value]] [[평균,mean,average]] (나가노 히로유키) = 확률변수의 합의 분산 = 이게 성립하는 건 확률변수가 서로 독립일 때만. 확률변수 $X,Y$ 가 상호 독립일 때 > $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ 위 식의 성질을 되풀이해 사용하면 확률변수 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 이 상호 독립일 때 > $V(X_1+X_2+\cdots+X_n)=V(X_1)+V(X_2)+\cdots+V(X_n)$ MKLINK [[합,sum]] [[덧셈,addition]] [[분산,variance]] (나가노 히로유키) = Links ko = 수리통계학에서의 확률 변수와 확률 분포 https://freshrimpsushi.github.io/posts/random-variable-and-probability-distribution/ 수리통계학에서의 랜덤 샘플 Random Sample https://freshrimpsushi.github.io/posts/random-sample/ { 실현(realization), 샘플(sample), 랜덤 샘플의 정의. 사이트 참조. 확률 변수 X가 실제로 뽑힌 것을 실현(realization)이라 하고 보통 소문자 x로 나타냄. 실현이란 말을 쓰지 않더라도, 보통 convention은 대문자가 '''확률변수''', 소문자가 데이터. } https://blog.naver.com/skkong89/222273810982 60% 쯤에 강의 = etc = '''확률변수'''의 [[공역,codomain]](target_set)은 [[상태공간,state_space]]. 상태공간은 [[가측공간,measurable_space]]. ---- 관련: [[랜덤프로세스,random_process]] LINKLATER: [[분산,variance]] (확률변수가 하나일 때만?) [[공분산,covariance]] (확률변수가 둘일 때만? - 복수인 경우는 다 여기 해당인듯.) [[중심극한정리,central_limit_theorem,CLT]] Twins: [[RR:확률변수,RV]] [[WpSimple:Random_variable]] [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=779880&cid=42085&categoryId=42085 경제학사전: 확률변수]] [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338095&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 확률변수]] [[WpKo:확률_변수]] [[WpEn:Random_variable]] https://mathworld.wolfram.com/RandomVariable.html https://encyclopediaofmath.org/wiki/Random_variable https://everything2.com/title/random+variable https://planetmath.org/randomvariable ---- Up: [[확률,probability]] [[변수,variable]] (근데 확률변수는 함수라는 글도 봤는데..) [[가측함수,measurable_function]]