환,ring

대충 군,group에 추가적으로 두 연산 덧셈,addition과 곱셈,multiplication을 ...tbw

더하기에 대해 가환군,commutative_group이 되고,
곱하기에 대해 닫혀 있고,
곱하기에 대한 결합법칙,associativity이 성립하고,
더하기와 곱하기 사이에 분배법칙,distributivity이 성립
? chk

ex. 정수,integer의 집합, 실수,real_number의 집합

가환환(commutative ring) : 교환법칙,commutativity이 성립하는 환
비가환환(non-commutative ring) : 그렇지 않은 환


환,ring에서 곱셈에 관한 교환법칙이 성립되는 것. (동아백과)



Up: 가환성 commutativity 환,ring
}

비가환환,non-commutative_ring
{
[https]수학백과: 비가환환
"환 R의 곱셈 연산이 교환법칙,commutativity을 만족하지 않을 때, 비가환환"
"비가환 기하학(noncommutative geometry)"
끝부분에 나눗셈환,division_ring, skew_field (=의체 =비가환체) 언급.
"나눗셈환이 가환환일 때는 체(field)라고 하며, 나눗셈환이 비가환환인 경우 의체(skew field) 또는 비가환체라고 한다."
}



축소환,reduced_ring
{
WpKo:축소환 "0이 아닌 멱영원,nilpotent_element을 갖지 않는 환, 즉 0이 아닌 원소의 제곱이 항상 0이 아닌 환"
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Reduced_Ring
}

부분환,subring은, 어떤 환의 부분집합으로서 그 환의 두 가지 연산에 대하여 이 부분집합 자체가 환이 될 때, 이 부분집합.
{
아이디얼,ideal은 특별한 성질을 갖는 부분환.


아이디얼,ideal : 특별한 성질을 갖는 부분환으로, ...tbw - 작성중

정수환(ring of integers) ring_of_integers ? integer_ring ?
rel. 정수,integer
https://mathworld.wolfram.com/RingofIntegers.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_of_integers

자명환,trivial_ring
{
하나의 원소만을 가지는 환,ring. 덧셈에 대한 항등원과 곱셈에 대한 항등원이 같다. 즉 1=0이다.
WpKo:자명환
https://mathworld.wolfram.com/TrivialRing.html
}

나눗셈환,division_ring
{
skew_field = division_ring = 나눗셈대수,division_algebra
즉 체,field와 환중에 어떤건 수식어에 따라 같아짐
see https://mathworld.wolfram.com/DivisionAlgebra.html





불_환,Boolean_ring - writing
{
is the ring version of a 불_대수,Boolean_algebra.... (eom)
A ring whose multiplicative operation is idempotent. (wten)
곱셈,multiplication연산이 멱등성,idempotence .. 즉 (대충) 곱해도 항상 자기자신..?

tmp files:
Boolean Algebras, Boolean Rings and Stone’s Representation Theorem (2017)
https://mathsci.kaist.ac.kr/~htjung/Boolean.pdf






unit_ring - wr

⇅ 이것들 다른것임 주의. (WpEn:Unit_(ring_theory) 참조)




[edit]

1. tmp links ko


https://jjycjnmath.tistory.com/228 (2016) - '환에서 체까지'의 첫 글, 이하 Abstract Algebra 카테고리에 계속, 7개 글

[edit]

2. 그냥 환

곱셈에 대한 역원은 존재하지 않을 수 있음

[edit]

3. rig, semiring

반환,semiring
덧셈의 역원(additive inverse)이 필수가 아닌 환,ring.

이하 WpEn 옮김
{

두 이항연산,binary_operation + and ⋅ (덧셈,addition and 곱셈,multiplication) 및 집합,set R이 있어서,
(R, +)은 항등원,identity_element 0을 가진 가환 모노이드(commutative monoid)
  • (a + b) + c = a + (b + c)
  • 0 + a = a + 0 = a
  • a + b = b + a
(R, ⋅)은 항등원 1을 가진 모노이드,monoid
  • (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
  • 1 ⋅ a = a ⋅ 1 = a
곱셈,multiplication은 덧셈 좌우로 분배법칙,distributivity 성립
  • a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c)
  • (a + b) ⋅ c = (a ⋅ c) + (b ⋅ c)
0을 곱하면 R을 annihilate
  • 0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0

}



[edit]

4. rng, nonunital ring

환에서 multiplicative identity를 뺀?
multiplicative_identity 존재를 가정하지 않은?

Sub:
영환,zero_ring 유사환중에 영환이 있다 (wpko참조)

WpEn:Rng_(algebra) (or non-unital ring or pseudo-ring)
WpKo:유사환 (pseudoring 또는 rng) "환과 유사하나, 곱셈에 대한 항등원을 갖지 않을 수 있는 구조"
https://ncatlab.org/nlab/show/nonunital ring


[edit]

5. 환의 단위원



[edit]

6. 환의 표수 - characteristic

[edit]

7. related

정역,integral_domain은 영인자,zero_divisor를 포함하지 않는 환.

[edit]

8. links tmp