자연수 집합은 정의에 따라 0을 포함하기도 하고 포함하지 않기도 하므로 주의.
ℕ0 = {0, 1, 2, …}
ℕ1 = {1, 2, 3, …}
또는 ISO에 의하면 (
src(https://people.engr.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf#page=12))
자연수는 다음 네(세) 가지로 분류할 수 있음
페아노 공리 Peano axioms ¶
자연수의 집합 ℕ은 다음 성질을 갖는다.
(A) ℕ≠∅이고, ℕ은 1이라는 원소를 가진다.
(B) 각 x∈ℕ에 대해 x 계승자 x'∈ℕ이 유일하게 존재한다.
(C) 임의의 x∈ℕ에 대해 x'≠1이다.
(D) 임의의 x,y∈ℕ에 대해 x'=y' ⇒ x=y 이다.
(E) S≠∅이고 S⊂ℕ이라고 하자. 그리고 다음을 가정하자.
⒜ 1∈S
⒝ x∈S ⇒ x'∈S
이 때 다음이 성립한다.
S=ℕ
얘기:
1의 계승자
(successor의 번역이 확실) 1'.
1은 어떤 자연수의 계승자도 아님. 즉 임의의 자연수 x에 대해 x'=1은 성립하지 않음.
(D)의 대우는 x≠y ⇒ x'≠y'. 서로 다른 자연수는 그 계승자가 같을 수 없음.
(E)는
수학적 귀납법의 공리라고 함.
1889년
(10개의 특강으로 끝내는 수학의 기본 원리)
특성 ¶
(이후 내용 교재가 없으면 제대로 받아적기 매우 힘듦..)
(Src:
부산대 미적 기초(http://www.kocw.net/home/cview.do?cid=1263561))