등차수열의_합

The sum of an arithmetic(arithmetical) sequence(progression)

첫째항이 $a$ , 공차(common difference, 즉 일정한 차이,difference)가 $d$ 인 등차수열,arithmetic_sequence $\{a_n\}$ 이 있다고 하자.

첫째항부터 제 $n$ 번째 항까지의 합,sum(sum)을 $S_n$ , 제 $n$ 항 (= 마지막 항, last term)을 $l$ 이라고 하면, 다음과 같다.
$S_n = a + (a+d) + (a+2d) + \cdots + (l-2d) + (l-d) + l$
이것을 덧셈,addition의 교환법칙,commutativity에 의거해 다음과 같이 역순으로 놓을 수 있다.
$S_n = l + (l-d) + (l-2d) + \cdots + (a+2d) + (a+d) + a$

양변을 같은_변끼리_더하기를 하면, 다음처럼 $(a+l)$ 이 $n$ 번 나온다.
$2S_n = \underbrace{(a+l)+(a+l)+\cdots+(a+l)+(a+l)}_{n \, \textrm{times}}$

곱셈의 성질을 이용하면,
$2S_n = n(a+l)$ 이다. 양변을 2로 나누면,

$S_n = \frac{n(a+l)}{2}$ 이다. (첫째항과 마지막 항이 주어졌을 때의 공식)

마지막 항이 주어지지 않았다면?
$l$ 은 제 $n$ 항이므로, $l=a+(n-1)d$ 이다. 이걸 위 식에 대입하면 다음 공식을 얻는다.

$S_n = \frac{n(2a+(n-1)d)}{2}$ (첫째항과 등차가 주어졌을 때의 공식)



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