성질 ¶

완비성 (completeness) 완비성,completeness

유리수,rational_number는 완비성을 갖추지 못함.
(부산대 미적기초: )
어떤 수열 $\lbrace a_n \rbrace$ 이 있고, 큰 수 $m,n\gg 0$ 에 대해

$0 \le |a_m - a_n| \ll 1$ (즉 갈수록 차이가 거의 없음)

일 때 위 수열을 코시_수열,Cauchy_sequence이라 한다.
엄밀하게 말해서 $\forall\epsilon>0,\;m,n\ge N$ 이면 $|a_m-a_n|<\epsilon$ 인 $N$ 을 찾을 수 있을 때, $\left\lbrace a_n \right\rbrace_{n=1}^{\infty}$ 을 Cauchy 수열이라 한다.
$\mathbb{R}$ 에서는 Cauchy 수열은 항상 수렴한다. (이 성질을 실수의 완비성이라 한다.)

수학백과: 실수의 완비성

조밀성(density)

a≠b이면 a와 b 사이에 유리수,rational_number와 무리수,irrational_number가 존재한다.

(고등학교고급미적분학 p13)

조밀성 (denseness)

서로 다른 실수 a와 b 사이에는, a와 b가 아무리 가깝더라도 그 사이에는 어떤 실수가 있다.

사실 무한히 많이 존재한다. x₁=(a+b)/2는 a와 b 사이에 있고, 이런 식으로 x₂ 를 구하고, 무한히 반복하면(repeat ad infinitum).

(Varberg)

// 위 둘 density 와 denseness 중에 조밀성 pagename TBD

Archimedes 성질 - 아르키메데스_성질,Archimedean_property
$x>0,\,y\gg 0$ 이면, $nx>y$ 인 자연수,natural_number가 존재.
작은 양수 $x$ 와 큰 양수 $y$ 가 있을 때, $x$ 를 충분히 $n$ 번 모으면 $y$ 보다 커질 수 있다.
관련 속담은 "티끌 $(x)$ 모아 태산"

(부산대 미적기초: )
{
수직선(number line, 관련: 직선,line) 위의 점과 일대일대응. // number_line

실수는 일단 체,field이고,
$x,y\in\mathbb{R}:\;x<y,x=y,x>y$ 셋 중 하나만 성립. 그래서 순서체(ordered field)이다. // ordered_field

실수의 부족함(약점):
$x^2+1=0$ 이 ℝ에서 근이 없다.
i.e.
ℝ은 대수적으로 닫혀 있지 않다(not algebraically closed).
그래서 복소수,complex_number ℂ가 있다.
복소수는 대수적으로 닫혀 있다.
즉, 모든 복소수 계수 다항식은 복소수 근을 갖는다. (The Fundamental Theorem of Algebra, 대수학의기본정리,FTA)
복소수는 완비적이다.
복소수는 체,field이지만, 순서체,ordered_field는 아니다.
ℂ보다 대수적으로 큰 체는 없다.
}

The law of trichotomy: 모든 실수는 양이거나 음이거나 0이다.
관련: 관계,relation

ℚ(유리수,rational_number)와 무리수,irrational_number로 이루어짐. 거의 대부분이 무리수임.

순서체,ordered_field.
완비순서체,complete_ordered_field.

tmp links en
{
Construction of the real numbers
https://everything2.com/title/Construction of the real numbers
}

관련: 유클리드_공간,Euclidean_space ℝⁿ, $\mathbb{R}^n$ - curr goto 공간,space

반대? (글쎄 반대라고 하긴 뭐하고 함께 복소수,complex_number를 이루는 complement관계인) : 허수,imaginary_number