자연수,natural_number

자연수,natural_number (rev. 1.28)
자연수 집합 표기: N의 칠판_볼드체,blackboard_bold : ℕ, $\mathbb{N}$

자연수 집합은 정의에 따라 0을 포함하기도 하고 포함하지 않기도 하므로 주의.

ℕ0 = {0, 1, 2, …}
ℕ1 = {1, 2, 3, …}

또는 ISO에 의하면 ([https]src)
$\mathbb{N}=\left{0,1,2,\ldots\right}$
$\mathbb{N}^*=\left{1,2,3,\ldots\right}$

자연수는 다음 네(세) 가지로 분류할 수 있음
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비슷한 성질의 집합

정수,integer와 겹치는 내용(즉 공통 성질)이 많음
영어 'whole number' - ambiguous term; see WpEn:Whole_number.

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페아노 공리 Peano axioms

자연수의 집합 ℕ은 다음 성질을 갖는다.
(A) ℕ≠∅이고, ℕ은 1이라는 원소를 가진다.
(B) 각 x∈ℕ에 대해 x 계승자 x'∈ℕ이 유일하게 존재한다.
(C) 임의의 x∈ℕ에 대해 x'≠1이다.
(D) 임의의 x,y∈ℕ에 대해 x'=y' ⇒ x=y 이다.
(E) S≠∅이고 S⊂ℕ이라고 하자. 그리고 다음을 가정하자.
⒜ 1∈S
⒝ x∈S ⇒ x'∈S
이 때 다음이 성립한다.
S=ℕ

얘기:
1의 계승자 1'.
1은 어떤 자연수의 계승자도 아님. 즉 임의의 자연수 x에 대해 x'=1은 성립하지 않음.
(D)의 대우는 x≠y ⇒ x'≠y'. 서로 다른 자연수는 그 계승자가 같을 수 없음.
(E)는 수학적 귀납법의 공리라고 함.

1889년
(10개의 특강으로 끝내는 수학의 기본 원리)
자연수를 집합을 통해 정의/구성할 수 있음 - see 집합,set#s-4(집합을 통한 자연수 구성)
페아노_공리,Peano_axiom

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특성

ℕ은 정렬순서집합(well-ordered set)이다.
(∅≠S)⊆ℕ은 최소의 원소 m을 갖는다.
i.e.
임의의 (공집합이 아닌) 자연수의 부분집합은 최소의 원소를 갖는다.
(관련 내용/링크 있는 페이지: WpKo:정렬_원순서_집합)

수학적귀납법,mathematical_induction을 위 내용을 써서 설명.

(이후 내용 교재가 없으면 제대로 받아적기 매우 힘듦..)


자연수집합의 크기(cardinality) = aleph_null
$|\mathbb{N}|=\aleph_0$