레비치비타_기호,Levi-Civita_symbol

기호
$\varepsilon_{ijk}$

값
1 when ijk가 순환순서일 때 (even permutation)
-1 when ijk가 반순환순서일 때 (odd permutation)
0 when ijk중 둘 이상이 같을 때
i.e.
  •  1 when ijk가 순환순서일 때 (even permutation) even_permutation
  • -1 when ijk가 반순환순서일 때 (odd permutation) odd_permutation
  •  0 when ijk중 둘 이상이 같을 때

인덱스,index가 세 개.
순환순서,cyclic_order? { Up: 순환,cycle 순서,order } chk

일단 ijk가 123의 cyclic order일 경우에는 1이다. (CHK)
$\varepsilon_{123}=\varepsilon_{231}=\varepsilon_{312}=1$
그리고 거기서 순서를 약간만 비튼?? (한 숫자는 고정하고 나머지 둘을 바꾼 경우.) 것일 경우에는 anticyclic order인데 이때는 -1이다.
$\varepsilon_{132}=\varepsilon_{213}=\varepsilon_{321}=-1$
그 외의 모든 경우에는 0이다.
$\varepsilon_{111}=\varepsilon_{112}=\cdots=\varepsilon_{333}=0$

레비치비타_기호,Levi-Civita_symbol 를 치환텐서(permutation_tensor)라고도 한다고. 텐서,tensor. (wpko)
permutation_tensor
curr see https://mathworld.wolfram.com/PermutationTensor.html

AKA 순환기호 permutation_symbol - src? - MW. 아울러 Levi-Civita_density, alternating_tensor도 같은 말. 그리고 텐서로 해석(interpret)할 땐 치환텐서도 같은 말.
그럼 순열,permutation 치환,permutation과 관련은?


세 index를 가짐.

이창영

εijk = -εjik

벡터곱,vector_product,cross_product에 사용된다는데
$\vec{A}\times\vec{B}=\hat{e_i}\epsilon_{ijk}A_iB_j$
CHK [http]src30분정도

참고. 아인슈타인_표기법,Einstein_notation에 관련 내용 필기 있음.

단위벡터,unit_vector의
스칼라곱은 크로네커 델타,
벡터곱은 레비치비타 기호와 관련이 있는 듯?
크로네커델타는 레비치비타기호의 특수한 경우인가? 포함?

$\hat{x}_i \cdot \hat{x}_j=\delta_{ij}$

$\hat{x}_i \times \hat{x}_j=\sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \hat{x}_k$

ex. $i=j=1$ 인 경우
$\hat{i}\times\hat{i}=\sum_{k=1}^3 \varepsilon_{11k} \hat{x}_k = 0$

ex. $i=1,j=2$ 인 경우
$\hat{i}\times\hat{j}=\sum_{k=1}^3 \varepsilon_{12k} \hat{x}_k$
이것은 다음과 같으므로
$\hat{x}_1\times\hat{x}_2$
$=\varepsilon_{121}\hat{x}_1 + \varepsilon_{122}\hat{x}_2 + \varepsilon_{123}\hat{x}_3$
$=\hat{x}_3$

(차동우)

Compare: 크로네커_델타,Kronecker_delta
크로네커는 symmetric,
레비치비타는 antisymmetric.
크로네커는 내적,inner_product 계산에,
레비치비타는 외적,outer_product 계산에 이용.
둘의 관계식이 있으며 매우 중요하다고.
$\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmk}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}$
[https]증명
레비치비타 기호 둘을 곱하면 크로네커 델타로 이루어진 행렬의 행렬식,determinant과 같다고.
$\epsilon_{ijk} \epsilon_{lmn} = \det \left| \begin{array}{ccc} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in}\\ \delta_{jl}& \delta_{jm} &\delta_{jn} \\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \end{array} \right|$
[https]여기 2.

[edit]

SymPy

LeviCivita (alias Eijk)
Google:LeviCivita SymPy

https://mathworld.wolfram.com/PermutationSymbol.html
https://freshrimpsushi.github.io/posts/levi-civita-symbol/
[https]물리학백과: 레비치비타 기호
모든 첨자에 대해 반대칭(antisymmetric)인 기호. Srch:antisymmet Srch:반대칭
[https]수학백과: 레비치비타 기호
치환,permutation의 부호,sign를 일반화 한 것으로,
중복이 없는 수열에 대해서는 부호수를 뜻하고,
중복이 있는 수열에 대해서는 0을... ???
https://planetmath.org/levicivitapermutationsymbol
WpKo:레비치비타_기호
Namu:레비치비타 기호