음이항분포,negative_binomial_distribution

음 이항 확률분포

성공 확률 $p$ 인 시행,trial을 독립적으로 반복하는 베르누이_시행,Bernoulli_trial을 $r$ 번 성공할 때 까지 반복한 시행 횟수가 $X$ 이면, $X$ 는 모수,parameter가 $(r,p)$ 인 음이항분포를 따른다고 하고
$X\sim\text{NB}(r,p)$
로 나타냄. $r=1$ 이면 기하분포,geometric_distribution.

// ㄷㄱㄱ week 7-1 19m

Negative Binomial Distribution

$\bullet\; X\sim\text{NB}(r,p)$
$\bullet\; \text{P}(x)=\binom{x+r-1}{x} p^x (1-p)^r \; \text{ for } \; x=0,1,2,\cdots$
$\bullet\; \text{E}[X]=rp(1-p)$
$\bullet\; \text{Var}[X]=rp(1-p)^2$

The number of successes to see $r$ failures

이부분 RECHK
{
$x$ 번 성공, $r$ 번 실패 - 전체 $x+r$ trials, 그리고 마지막 trial은 반드시 failure.
그래서 $x+r-1$ trials 중에 $x$ 번 성공, $r-1$ 번 실패.
그래서 $\binom{x+r-1}{x} \cdot p^x \cdot (1-p)^{r-1} \cdot (1-p)$ (마지막 한 번은 failure) 라서 식이 저렇게 되는 것.
}

https://i.imgur.com/oGow66Ul.png


r이 작으면 exponential_decay, 크면 binomial 비슷한 그런??