Rolle's theorem
가 세 조건
에서 연속 (
연속성,continuity
)
에서 미분가능 (
미분가능성,differentiability
)
을 만족하면
such that
(단대 김도형)
함수
가 폐구간
에서
미분가능,differentiable
하고
이면,
개구간
에 점 c가 존재한다.
어떤 점이 존재하냐면, (such that)
인 점이 존재한다.
함수
가
에서 연속이고,
에서 미분가능일 때,
이면,
인
가 존재한다.
다시 말해,
을 만족하는
가 구간
안에 적어도 하나 존재한다.
롤 정리
를 일반화시키면
평균값정리,mean_value_theorem,MVT
가 됨.
또는, 평균값정리의 보조정리로 활용됨.
롤의 정리
는 평균값정리의 특별한 경우임.
롤의 정리
를 이용해 평균값 정리를 얻을 수 있음.
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]
Proof
¶
1.
가 상수함수인 경우에는 자명.
2.
가
에서 연속이고
이므로
는 어떤
에서 최대값 또는 최소값을 가짐. (
최대최소정리,extreme_value_theorem,EVT
를 이용)
2-1. c가 최대값인 경우,
이므로 우변을 이항하면
일 때 왼쪽 부등식이,
일 때 오른쪽 부등식이 성립.
그리고
가
에서 미분가능. 따라서
2-2. 최소값인 경우도 최대값인 경우와 마찬가지의 방법으로 증명.
저게
http://unolab.tistory.com/entry/페르마의-정리
페르마의 임계값 정리?
See also
페르마_정리,Fermat_theorem
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]
Proof (again)
¶
함수
가 닫힌 구간
에서 연속이므로, 이 구간에서 최대값
과 최소값
을 갖는다.
1.
2.
이면
이므로 열린 구간
의 한 점
에 대해
또는
이 성립한다. 만약
이면,
인 모든
에 대해
이다. 따라서
이면
이고
가
에서 미분가능하므로
이다. 마찬가지로
이면
이고
가
에서 미분가능하므로
이다. 따라서
이다.
인 경우의 증명은 연습문제로 남긴다.
From 서울대 기초수학교재(?)
롤의_정리
http://planetmath.org/proofofrollestheorem
수학백과: 롤의 정리
(https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338267&cid=47324&categoryId=47324)
https://everything2.com/title/Rolle%27s theorem
https://brilliant.org/wiki/rolles-theorem/
롤의.정리
Up:
미적분,calculus
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last modified 2023-12-07 06:21:23