If 
has a local maximum or minimum at 
and if "$f'(c)$")
exits,
then=0. "$f'(c)=0.$")
and if
then
(Proof) 가 
에서 극대라 가정하면, 
가 에 충분히 가까울 때 \ge f(x) "$f(c)\ge f(x)$")
이다. 이것이 암시하는 것은 
가 0에 충분히 가까울 때 ( 의 부호는 무관 )
\ge f(c+h) "$f(c)\ge f(c+h)$")
따라서
-f(c)\le 0 "$f(c+h)-f(c)\le 0$")
인 경우. 양변을 작은 양수 로 나누면
-f(c)}{h}\le 0 "$\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le 0$")
양쪽의 우극한right-hand_limit을 취하면
-f(c)}{h}\le\lim_{h\to 0^+}0=0 "$\lim_{h\to 0^+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le\lim_{h\to 0^+}0=0$")
 "$\exists f'(c)$")
이므로
=\lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} "$f'(c)=\lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$")
따라서
\le 0 "$f'(c)\le 0$")
인 경우,
-f(c)}{h}\ge 0 "$\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge 0$")
양쪽의 좌극한left-hand_limit을 취하면
=\lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge 0 "$f'(c)=\lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge 0$")
이상 \ge 0 "$f'(c)\ge 0$")
그리고 둘 다 참임을 보였으므로 반드시 =0 "$f'(c)=0$")
이다.
이상 극대의 경우의 증명이며 극소의 경우도 비슷한 방식으로 증명한다.
(Stewart)
AKA 페르마의 임계점 정리, 임계점 정리[1]
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- [1] 페르마의 임계점 정리에 의하면 “열린 구간에서 정의된 미분 가능한 함수 f(x)의 극점(extreme_point? extremal_point? extremum? PAGENAME TBD. rel. 극값,extremum
극점 )에서는 순간변화율이 영이다.” (김홍종 미적 1+ p393, 부록 수학사전 - 임계점 정리)